Irreduzible Elemente im Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 So 03.12.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | Wir betrachten den Ring:
[mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] := { [mm] a+b*\wurzel{5}*i \in \IC |a,b\in \IZ [/mm] } und die
Abbildung N: [mm] \IZ[\wurzel{-5}] \to \IN_{0}, a+b*\wurzel{5}*i \to a^2+5*b^2.
[/mm]
1.) Zeigen Sie für alle x, y [mm] \in \IZ[\wurzel{5}] [/mm] die Gleichung N(xy) = N(x)N(y).
2.) Zeigen Sie, dass die vier Elemente [mm] 2,3,1+\wurzel{5}*i [/mm] und [mm] 1-\wurzel{5}*i [/mm] in [mm] \IZ[\wurzel{5}] [/mm] irreduzibel und nicht zueinander assoziiert sind.
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Hallo,
leider kam das Thema Ringe in der Vorlesung nur sehr knapp vor und ich weiß z.B. bei 1.) gar nicht wie überhaupt das x bzw. das y in die Abbildung eingesetzt wird? Wie sieht denn N(xy) oder N(x) eigentlich aus?
Kann mir vielleicht jemand Tipps oder einen kleinen Ansatz geben, ich denke danach bekomme ich das hin, aber ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
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> Wir betrachten den Ring:
> [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]a+b*\wurzel{5}*i \in \IC |a,b\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und die
> Abbildung N: [mm]\IZ[\wurzel{-5}] \to \IN_{0}, a+b*\wurzel{5}*i \to a^2+5*b^2.[/mm]
>
> 1.) Zeigen Sie für alle x, y [mm]\in \IZ[\wurzel{5}][/mm] die
> Gleichung N(xy) = N(x)N(y).
>
> 2.) Zeigen Sie, dass die vier Elemente [mm]2,3,1+\wurzel{5}*i[/mm]
> und [mm]1-\wurzel{5}*i[/mm] in [mm]\IZ[\wurzel{5}][/mm] irreduzibel und nicht
> zueinander assoziiert sind.
>
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> Hallo,
>
> leider kam das Thema Ringe in der Vorlesung nur sehr knapp
> vor und ich weiß z.B. bei 1.) gar nicht wie überhaupt das x
> bzw. das y in die Abbildung eingesetzt wird? Wie sieht denn
> N(xy) oder N(x) eigentlich aus?
Hallo,
x, y [mm]\in \IZ[\wurzel{5}][/mm] bedeutet ja:
Es gibt [mm] a_1,a_2, b_1,b_2 \in \IZ [/mm] mit
[mm] x=a_1+b_1\wurzel{5}*i [/mm] und [mm] y=a_2+b_2\wurzel{5}*i. [/mm]
Wie Du x und y in N einsetzt, steht hier:
> Abbildung N: [mm]\IZ[\wurzel{-5}] \to \IN_{0}, a+b*\wurzel{5}*i \to a^2+5*b^2.[/mm],
also ist [mm] N(a+b*\wurzel{5}*i)=a^2+5*b^2.
[/mm]
Das Produkt xy mußt Du zum Einsetzten in die passende Form bringen, vorne eine ganze Zahl, hinten ganzzahliges Vielfaches von [mm] \wurzel{5}*i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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