Irreduzible Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:00 So 02.11.2008 | | Autor: | one |
| Aufgabe | | Ist [mm] x^2 [/mm] + 1 irreduzibel über [mm] \IZ[x] [/mm] bzw. über [mm] \IZ[i]? [/mm] |
Meines Wissens nach, ist [mm] x^2 [/mm] +1 irreduzibel in [mm] \IZ[x].
[/mm]
Doch ich weiss nicht genau, wie ich dies zeigen kann.
Zu zeigen ist ja, dass aus [mm] x^2+1 [/mm] = f(x)*g(x) folgt, dass f(x) oder g(x) eine Einheit von [mm] \IZ[x] [/mm] ist.
Da aber [mm] x^2+1 [/mm] in [mm] \IZ[x] [/mm] nur mit [mm] (x^2+1) [/mm] * 1 zerlegbar ist, folgt also die Irreduzibilität. Stimmt dies so?
Für [mm] \IZ[i] [/mm] :
[mm] x^2+1 [/mm] könnte höchstens noch so zerlegt werden:
(x+i)(x-i), doch dies liegt dann nicht in der Einheit von [mm] \IZ[i], [/mm] also ist [mm] x^2+1 [/mm] nicht irreduzibel in [mm] \IZ[i]...?
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo!
Angenommen es gebe eine nichtriviale Zerlegung von [mm] x^2+1, [/mm] wie sehe die aus?Schreibe hin welche nur in Frage kommen. Und führe es zum widerspruch.Also eine Zerlegung in das Produkt zweier NIchteinheiten in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Grüße Elvis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 So 02.11.2008 | | Autor: | one |
Hallo,
> Angenommen es gebe eine nichtriviale Zerlegung von [mm]x^2+1,[/mm]
> wie sehe die aus?Schreibe hin welche nur in Frage kommen.
> Und führe es zum widerspruch.Also eine Zerlegung in das
> Produkt zweier NIchteinheiten in [mm]\IZ[X].[/mm]
>
[mm] x^2+1 [/mm] = (x+a)(x-a)
Also muss [mm] a^2 [/mm] = -1 sein, was dann aber nicht in [mm] \IZ[x] [/mm] liegen würde.
Meinst du dies?
Aber ist denn (x+a)(x-a) wirklich die einzige nichttriviale Zerlegung von [mm] x^2+1 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo
Naja darauf läuft es hinaus.
Aber dein ansatz ist ziemlich restiriktiv.
Du kannst dir ja Überlegen welche nichtrivialen Zerlegeungen es noch gibt, und überlegen weshalb diese auszuschließen sind.
Dieses Ist aber ganz leicht.
Grüße Elvis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Mo 03.11.2008 | | Autor: | one |
also als weitere zerlegung kommt mir nur noch [mm] (x^2+1) [/mm] = [mm] x(x+\bruch{1}{x}) [/mm] in den Sinn. Doch diese kommt dann auch nicht in Frage, da sie nicht in [mm] \IZ[x] [/mm] liegt...!
Gibts denn noch andere Zerlegungen, oder muss ichs einfach allgemeiner formulieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> also als weitere zerlegung kommt mir nur noch [mm](x^2+1)[/mm] =
> [mm]x(x+\bruch{1}{x})[/mm] in den Sinn. Doch diese kommt dann auch
> nicht in Frage, da sie nicht in [mm]\IZ[x][/mm] liegt...!
>
> Gibts denn noch andere Zerlegungen, oder muss ichs einfach
> allgemeiner formulieren?
Wie du selber bemerkt hast, diese Zerlegung ist keine in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] sondern eine in [mm] $\IZ(x)$.
[/mm]
Der allgemeine Ansatz ist [mm] $x^2 [/mm] + 1 = (a x + b) (c x + d)$ mit $a, b, c, d [mm] \in \IZ$.
[/mm]
(Tipp: zeige zuerst, dass $a = c = [mm] \pm [/mm] 1$ ist und multipliziere beide Polynome mit $a = [mm] a^{-1}$, [/mm] d.h. nimm ohne Einschraenkung $a = c = 1$ an.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 04.11.2008 | | Autor: | one |
Ok, ich habe nun (ax+b)(cx+d) ausmultipliziert.
[mm] acx^2+x(ad+bc) [/mm] + bd = [mm] x^2+1
[/mm]
also muss a = c = 1 oder -1 sein.
Doch wie hast du dies gemeint, dass ich ohne Einschränkung annehmen soll, dass a = c = 1 . Weshalb darf ich das?
Ok, habe dann einfach mal so weitergemacht:
Nun ist also [mm] x^2+x(d+b) [/mm] + bd = [mm] x^2+1
[/mm]
bd muss 1 sein, aber b+d muss 0 sein. Dies ist ein Widerspruch. Also ist [mm] x^2+ [/mm] 1 irreduzibel über [mm] \IZ[x]...?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 04.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ok, ich habe nun (ax+b)(cx+d) ausmultipliziert.
>
> [mm]acx^2+x(ad+bc)[/mm] + bd = [mm]x^2+1[/mm]
>
> also muss a = c = 1 oder -1 sein.
> Doch wie hast du dies gemeint, dass ich ohne Einschränkung
> annehmen soll, dass a = c = 1 . Weshalb darf ich das?
Wenn $a = c = -1$ ist, dann multiplizier doch mal beide Polynome mit $-1$. Dass das Produkt immer noch [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ist ist klar, da [mm] $(-1)^2 [/mm] = 1$ ist.
> Ok, habe dann einfach mal so weitergemacht:
>
> Nun ist also [mm]x^2+x(d+b)[/mm] + bd = [mm]x^2+1[/mm]
>
> bd muss 1 sein, aber b+d muss 0 sein. Dies ist ein
> Widerspruch.
Und zwar warum?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mi 05.11.2008 | | Autor: | one |
Hallo,
Irgendwie habe ich diese Trivialität immer noch nicht ganz begriffen.
>
> Wenn [mm]a = c = -1[/mm] ist, dann multiplizier doch mal beide
> Polynome mit [mm]-1[/mm]. Dass das Produkt immer noch [mm]x^2 + 1[/mm] ist
> ist klar, da [mm](-1)^2 = 1[/mm] ist.
Also, ich habe nun a = c = -1 gesetzt:
(-x+b)(-x+d) = [mm] x^2+1 [/mm]
Nun eben beide Polynome mit -1 multiplizieren:
(x-b)(x+d) = [mm] x^2+1
[/mm]
[mm] x^2-x(b+d) [/mm] +bd = [mm] x^2+1
[/mm]
Hast du so gemeint?
Ich habs aber nun noch anders gelöst.
Habe einfach die beiden Fäll unterschieden. Zuerst für a = c = 1 den Widerspruch hergeleitet und danach für a = c = -1.
So gehts dann auch.
>
> > Ok, habe dann einfach mal so weitergemacht:
> >
> > Nun ist also [mm]x^2+x(d+b)[/mm] + bd = [mm]x^2+1[/mm]
> >
> > bd muss 1 sein, aber b+d muss 0 sein. Dies ist ein
> > Widerspruch.
>
> Und zwar warum?
Weil b und d in [mm] \IZ [/mm] liegen müssen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 06.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Irgendwie habe ich diese Trivialität immer noch nicht ganz
> begriffen.
>
> >
> > Wenn [mm]a = c = -1[/mm] ist, dann multiplizier doch mal beide
> > Polynome mit [mm]-1[/mm]. Dass das Produkt immer noch [mm]x^2 + 1[/mm] ist
> > ist klar, da [mm](-1)^2 = 1[/mm] ist.
>
> Also, ich habe nun a = c = -1 gesetzt:
>
> (-x+b)(-x+d) = [mm]x^2+1[/mm]
> Nun eben beide Polynome mit -1 multiplizieren:
> (x-b)(x+d) = [mm]x^2+1[/mm]
Du meinst $(x - b) (x - d) = [mm] x^2 [/mm] + 1$. Weisst du auch warum auf der rechten Seite [mm] $x^2 [/mm] + 1$ stehen bleibt und das nicht zu [mm] $-(x^2 [/mm] + 1)$ wird?
> [mm]x^2-x(b+d)[/mm] +bd = [mm]x^2+1[/mm]
>
> Hast du so gemeint?
Ja, in etwa.
Geschickter ist es allerdings, sowas wie [mm] $x^2 [/mm] + 1 = 1 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 1) = [mm] (-1)^2 [/mm] (-x + b) (-x + d) = (-(-x + b)) (-(-x + d)) = [mm] (-1)^2 [/mm] (x - b) (x - d) = (x - b) (x - d)$ zu schreiben.
> Ich habs aber nun noch anders gelöst.
> Habe einfach die beiden Fäll unterschieden. Zuerst für a =
> c = 1 den Widerspruch hergeleitet und danach für a = c =
> -1.
> So gehts dann auch.
Ja, das geht auch.
> > > Ok, habe dann einfach mal so weitergemacht:
> > >
> > > Nun ist also [mm]x^2+x(d+b)[/mm] + bd = [mm]x^2+1[/mm]
> > >
> > > bd muss 1 sein, aber b+d muss 0 sein. Dies ist ein
> > > Widerspruch.
> >
> > Und zwar warum?
>
> Weil b und d in [mm]\IZ[/mm] liegen müssen.
Na, das musst du aber schon etwas genauer begruenden. Ich kann auch einfach behaupten, dass es fuer $x^10 + y^10 = z^10$ keine Loesungen $x, y, z$ mit $x y z [mm] \neq [/mm] 0$ gibt, weil $x, y, z [mm] \in \IZ$ [/mm] sein muessen. Das wirst du nicht widerlegen koennen, aber diese `Trivialitaet' ist alles andere als einfach zu beweisen.
Es ging mir nur darum dich drauf hinzuweisen, dass du das in der richtigen Loesung nicht einfach so schreiben kannst. Wenn du das da schon richtig bewiesen hast ist gut, ansonsten solltest du das nachholen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe dazu auch mal eine Frage:
Wie zeige ich denn dann: x²-x+1 ist irreduzibel in [mm] \IZ [/mm] [x]???
Ich kann es ja folgendermaßen zerlegen:
x²-x+1=(x+b)*(x-b)
Oder gibt es da eine andere Möglichkeit?
Lg Kittycat
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
