Irreduzibilität x^{p} - x - 1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] x^{p} [/mm] - x - 1 [mm] \in \IZ_{p} [/mm] , p Primzahl irreduzibel?? |
Wie zeige ich hier irreduzibel?
Wollte eigentlich mit Eisenstein an diese Aufgabe ran, aber wenn ich nichts falsch gemacht habe, geht das hier nicht.
Andere Irreduzibilitätskriterien haben wir noch nicht gelernt.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 07.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]x^{p}[/mm] - x - 1 [mm]\in \IZ_{p}[/mm] , p Primzahl
> irreduzibel??
Du meinst sicher [mm] $\in \IZ_p[x]$? [/mm] Und ist bei dir [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$?
[/mm]
> Wie zeige ich hier irreduzibel?
Das Polynom hat keine Nullstellen in [mm] $\IZ_p$ [/mm] (warum?), womit es fuer $p = 2$ und $p = 3$ irreduzibel ist (warum?).
> Wollte eigentlich mit Eisenstein an diese Aufgabe ran, aber
> wenn ich nichts falsch gemacht habe, geht das hier nicht.
Das geht hier auch nicht. In [mm] $\IZ_p$ [/mm] hast du keine Primelemente, da es ein Koerper ist.
Berechne doch mal den groessten gemeinsamen Teiler von [mm] $x^p [/mm] - x - 1$ und [mm] $x^{p^k} [/mm] - x$ in [mm] $\IZ_p[x]$, [/mm] wobei $k [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig ist. (Hinweis: es kommt eine Einheit raus wenn $p [mm] \nmid [/mm] k$ gilt, und [mm] $x^5 [/mm] - x - 1$ wenn $5 [mm] \mid [/mm] k$ gilt. Oder zumindest habe ich das raus  )
Mit etwas Wissen ueber endliche Koerper liefert dir dies, dass [mm] $x^p [/mm] - x - 1 [mm] \in \IZ_p[x]$ [/mm] irreduzibel ist.
(Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe )
Noch zwei Hinweise:
- Wenn du den ggT von $a$ und $b$ berechnest und $b [mm] \equiv [/mm] c [mm] \pmod{a}$ [/mm] gilt, dann ist der ggT gleich dem ggT von $a$ und $c$.
- In [mm] $\IZ_p[x]$ [/mm] gilt $(a + [mm] b)^p [/mm] = [mm] a^p [/mm] + [mm] b^p$ [/mm] fuer beliebige Polynome $a, b [mm] \in \IZ_p[x]$. [/mm] (Weisst du, warum?)
LG Felix
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Also [mm] \IZ_{p} [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ [/mm] stimmt so, aber von nen x in einer eckigen Klammer steht nichts da.
Eisenstein geht nicht, da [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Körper ist, okay, Eisenstein hatte ich eh abgehakt.
Das Polynom hat keine Nullstellen , da es für p = 2, p =3 nie Null werden kann [mm] \Rightarrow [/mm] dafür irreduzibel
Gut, dann müsste ich es noch für die anderen p betrachten, also über den ggT...
Zum ggT: Warum muss/soll ich denn $ [mm] x^{p^k} [/mm] - x $ mit einbeziehen??
Haben den ggT nur über Polynomdivision gelernt zu finden, was mir hier schon Schwierigkeiten bereiten würde...
Und zum zweiten Hinweis kann ich leider auch nichts sagen, da wir noch nie mit dem [mm] \IZ_{p} [/mm] gerechnet haben, wobei das auch nichts anderes sein wird, als der [mm] \IZ_{2} [/mm] , [mm] \IZ_{3}, [/mm] usw. z. B. oder?
Na vielleicht ist es doch eher ne Frage(n) als ne Mitteilung...
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Also [mm] \IZ_{p}= \IZ/p\IZ [/mm] stimmt so, aber von nen x in einer eckigen Klammer steht nichts da.
Eisenstein geht nicht, da [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Körper ist, okay, Eisenstein hatte ich eh abgehakt.
Das Polynom hat keine Nullstellen , da es für p = 2, p =3 nie Null werden kann [mm] \Rightarrow [/mm] dafür irreduzibel
Gut, dann müsste ich es noch für die anderen p betrachten, also über den ggT...
Zum ggT: Warum muss/soll ich denn $ [mm] x^{p^k} [/mm] - x $ mit einbeziehen??
Haben den ggT nur über Polynomdivision gelernt zu finden, was mir hier schon Schwierigkeiten bereiten würde...
Und zum zweiten Hinweis kann ich leider auch nichts sagen, da wir noch nie mit dem gerechnet haben, wobei das auch nichts anderes sein wird, als der [mm] \IZ_{2}, \IZ_{3} [/mm] usw. z. B. oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 09.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also [mm]\IZ_{p}= \IZ/p\IZ[/mm] stimmt so, aber von nen x in
> einer eckigen Klammer steht nichts da.
Sollte da aber, ansonsten ist es ein Tippfehler. Es soll ja schliesslich ein Polynom sein und kein Element aus dem Koerper.
> Das Polynom hat keine Nullstellen , da es für p = 2, p =3
> nie Null werden kann [mm]\Rightarrow[/mm] dafür irreduzibel
Genau.
> Gut, dann müsste ich es noch für die anderen p betrachten,
> also über den ggT...
>
> Zum ggT: Warum muss/soll ich denn [mm]x^{p^k} - x[/mm] mit
> einbeziehen??
Dazu musst du etwas ueber endliche Koerper wissen: Wenn $p$ eine Primzahl ist und $n$ eine natuerliche Zahl, so gibt es genau einen endlichen Koerper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen, naemlich den Zaerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^n} [/mm] - x [mm] \in \IZ_p[x]$. [/mm] Und die Elemente dieses Koerpers sind genau die Nullstellen von dem Polynom [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$.
Wenn du also einen nicht-trivialen gemeinsamen Teiler von $f$ und [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ hast, dann hat $f$ einen irreduziblen Faktor, dessen Grad $n$ teilt (im Endeffekt der Gradsatz). Sprich, $f [mm] \in \IZ_p[x]$ [/mm] ist also genau dann irreduzibel, wenn es keinen gemeinsamen Faktor mit [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ hat fuer alle $n < [mm] \deg [/mm] f$.
> Haben den ggT nur über Polynomdivision gelernt zu finden,
> was mir hier schon Schwierigkeiten bereiten würde...
Wenn du den ggT von $f$ und $g$ ausrechnen willst, faengst du ja mit ner Polynomdivison an, $g = q f + r$ mit [mm] $\deg [/mm] r < [mm] \deg [/mm] f$. Und wenn $g [mm] \equiv \hat{g} \pmod{f}$ [/mm] ist, dann haben $g$ und [mm] $\hat{g}$ [/mm] bei Division durch $f$ den gleichen Rest. Und da du nur den Rest brauchst, ist es somit egal ob du $ggT(f, g)$ oder $ggT(f, [mm] \hat{g})$ [/mm] ausrechnest, es kommt das gleiche heraus...
> Und zum zweiten Hinweis kann ich leider auch nichts sagen,
> da wir noch nie mit dem gerechnet haben, wobei das auch
> nichts anderes sein wird, als der [mm]\IZ_{2}, \IZ_{3}[/mm] usw. z.
> B. oder?
Ja, es ist nicht viel anders. Wenn du einen kommutativen Ring $R$ mit Eins der Charakteristik $p$ hast ($p$ eine Primzahl), dann gilt immer $(a + [mm] b)^p [/mm] = [mm] a^p [/mm] + [mm] b^p$ [/mm] fuer alle $a, b [mm] \in [/mm] R$. Das folgt aus der binomischen Formel und dem Fakt, dass [mm] $\binom{p}{i}$ [/mm] fuer alle $0 < i < p$ durch $p$ teilbar ist (in $R$ also $0$ ist).
Wenn ihr das alles aber noch nicht hattet, geht's vielleicht auch ganz anders...
LG Felix
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