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Hallo,
wie kann ich zeigen,dass das Polynom [mm] m(x)=x^2-\wurzel{2} [/mm] irreduzibel über [mm] Q(\wurzel{2}) [/mm] ist?
- Eisenstein funktiniert hier nicht, wegen [mm] Q(\wurzel{2}), [/mm] oder?
- Reduktionssatz ebenfalls nicht...
- was bleibt mir dann noch?
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Hallo
Schreib dir mal die Nullstellen hin und wenn das Polynom nicht irreduzibel über [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist, dann muss man die Nullstelle so schreiben können [mm] a+b*\wurzel{2} [/mm] mit a,b [mm] \in \IQ [/mm] . Dann musst das irgendwie zum Widerspruch führen, aber das ist alles nur eine Idee von mir, deswegen lass ich die Frage auch halboffen.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Do 26.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
> wie kann ich zeigen,dass das Polynom [mm]m(x)=x^2-\wurzel{2}[/mm]
> irreduzibel über [mm]Q(\wurzel{2})[/mm] ist?
>
> - Eisenstein funktiniert hier nicht, wegen [mm]Q(\wurzel{2}),[/mm]
> oder?
Haengt davon ab wieviel du weisst  Der Ring $R = [mm] \IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] ist ein euklidischer Ring mit Quotientenkoerper [mm] $\IQ(\sqrt{2})$, [/mm] und [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist ein Primelement in $R$. Wenn du das weisst, kannst du Eisenstein anwenden.
> - Reduktionssatz ebenfalls nicht...
> - was bleibt mir dann noch?
Wie TheBozz-mismo schrieb: zeige, dass es keine Nullstelle in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] hat.
Dazu kannst du wie folgt vorgehen: [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[4]{2}$ [/mm] und [mm] $-\alpha$ [/mm] sind ja die Nullstellen von $m$ in [mm] $\IC$. [/mm] Wenn du jetzt $L := [mm] \IQ(\alpha)$ [/mm] betrachtest, so ist $K := [mm] \IQ(\sqrt{2})$ [/mm] ein Unterkoerper. Da $1, [mm] \alpha, \alpha^2, \alpha^3$ [/mm] eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von $L$ ist, und $1, [mm] \alpha^2$ [/mm] eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von $K$ ist, siehst du sofort dass [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $-\alpha$ [/mm] nicht in $K$ liegen.
Das setzt jetzt allerdings voraus dass du schon etwas ueber Koerpererweiterungen und algebraische Elemente weisst...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 26.01.2012 | | Autor: | zugspitze |
Vielen Dank für eure Hilfe,
ich konnte die Aufgabe mit dem zweiten tipp gut lösen,
es ging nämlich insgesamt um körpererweiterungen.
vielen dank
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