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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass das folgende Polynom in [mm] \IQ[x] [/mm] unzerlegbar ist:
[mm] p=x^{3}+6x^{2}+7 [/mm] |
Hallo!
Da man hier nicht mit dem Eisensteinkriterium voran kommt, habe ich mich am Reduktionskriterium versucht, bin nun aber etwas verwirrt. Das ist das, was ich herausbekommen habe:
p in [mm] \IZ/2\IZ [/mm] ist: [mm] \overline{p}=x^{3}+\overline{1}
[/mm]
(im folgenden sind alle Zahlen modulo 2 gerechnet und ich lasse den Strich über den Zahlen weg)
mögliche Nullstellen wären dann noch 0 und 1
[mm] \overline{p}(0)=1, [/mm]
[mm] \overline{p}(1)=0
[/mm]
es existiert also eine Nullstelle für [mm] \overline{p}
[/mm]
Aber was sagt mir das? Daraus kann ich ja keine Reduzibilität schließen, oder?
Man könnte doch dann weiter machen, indem man zeigt, dass es keine Zerlegung in ein Produkt der Form [mm] (ax+b)(cx^{2}+dx+e) [/mm] gibt, oder?
Nach dem Ausmultiplizieren haben wir dann:
[mm] acx^{3}+(ad+bc)x^{2}+(ae+bd)x+be
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erkennt man, dass
ac=1 und be=1, das heißt [mm] a,b=\{-1,1\}
[/mm]
Außerdem kann man den ersten Faktor umstellen in: x=-b/a, dies ist eine mögliche Nullstelle
wenn man die möglichen a und b einsetzt bekommt man:
a,b=-1, a,b=1
--> [mm] x_{1}=-1
[/mm]
a=-1 und b=1, a=1 und b=-1
--> [mm] x_{2}=1
[/mm]
wenn man nun diese möglichen Nullstellen in [mm] \overline{p} [/mm] einsetzt bekommt man:
[mm] \overline{p}(-1)=0
[/mm]
[mm] \overline{p}(1)=2
[/mm]
Also haben wir doch Nullstellen. Kann man nun Reduzibilität folgern?
Oder habe ich mich irgendwo verrannt?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:43 Do 13.03.2014 | | Autor: | hippias |
Das Polynom $p= [mm] x^{3}+6x^{2}+7$ [/mm] ist zerlegbar ueber [mm] $\IQ$, [/mm] weil $-1$ eine Nullstelle ist.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:46 Do 13.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das Polynom [mm]p= x^{3}+6x^{2}+7[/mm] ist zerlegbar ueber [mm]\IQ[/mm], weil
> [mm]-1[/mm] eine Nullstelle ist.
[mm] $(-1)^3+6*(-1)^2+7 =-1\red{\textbf{ + }}6+7=-1+13=12 \not=0$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 13.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das Polynom [mm]p= x^{3}+6x^{2}+7[/mm] ist zerlegbar ueber [mm]\IQ[/mm], weil
> [mm]-1[/mm] eine Nullstelle ist.
-1 ist keine Nullstelle !
FRED
Edit: Marcel war schneller.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Fr 14.03.2014 | | Autor: | hippias |
Ich bin mir ganz sicher: gestern war $-1$ noch eine Nullstelle! Naja, der Glaube versetzt offenbar nur Berge...
Jedenfalls tut mir mein Rechenfehler Leid.
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Hallo,
das Reduktionskriterium ist keine "genau dann, wenn" Aussage.
Aus [mm] $\overbar{f} \in \mathbb [/mm] Z/p [mm] \mathbb [/mm] Z [X]$ reduzibel folgt nicht, dass $f [mm] \in [/mm] mathhbb Z[X]$ reduzibel wäre.
Warum zeigst du nicht direkt, dass das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen hat?
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
>
> das Reduktionskriterium ist keine "genau dann, wenn"
> Aussage.
> Aus [mm]\overbar{f} \in \mathbb Z/p \mathbb Z [X][/mm] reduzibel
> folgt nicht, dass [mm]f \in mathhbb Z[X][/mm] reduzibel wäre.
achso!!
Aber aus [mm] \overline{p} [/mm] irreduzibel in Z/pZ folgt, dass p irreduzibel in Z ist, oder?
> Warum zeigst du nicht direkt, dass das Polynom keine
> ganzzahligen Nullstellen hat?
Du meinst, indem ich die Aufteilung in Faktoren bei p und nicht bei [mm] \overline{p} [/mm] mache?
Grüßle, Lily
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> Hallo!
> Danke für deine Antwort!
> >
> > das Reduktionskriterium ist keine "genau dann, wenn"
> > Aussage.
> > Aus [mm]\overbar{f} \in \mathbb Z/p \mathbb Z [X][/mm] reduzibel
> > folgt nicht, dass [mm]f \in \mathbb Z[X][/mm] reduzibel wäre.
> achso!!
> Aber aus [mm]\overline{p}[/mm] irreduzibel in Z/pZ folgt, dass p
> irreduzibel in Z ist, oder?
Ja.
> > Warum zeigst du nicht direkt, dass das Polynom keine
> > ganzzahligen Nullstellen hat?
> Du meinst, indem ich die Aufteilung in Faktoren bei p und
> nicht bei [mm]\overline{p}[/mm] mache?
Nein ich meine Nullstellen wenn ich Nullstellen schreibe. Es gibt ein einfaches Kriterium zum Finden ganzzahliger NST ganzzahliger Polynome,u.U. ist das sogar aus der Schule bekannt.
> Grüßle, Lily
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