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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 31.01.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | Man zeige die Irreduzibilität in [mm] \IQ[x]
[/mm]
f(x) = [mm] x^{3}+6x^{2}-17x+8 [/mm] |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz.
Ich rechne mod 3
Dann ergibt sich folgendes Polynom
[mm] f(x)=x^3+2x+2 [/mm] (sind die Vorzeichen richtig?)
Und nach Eisenstein ist es für p=2 irreduzibel
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] x^{3}+6x^{2}-17x+8 [/mm] ist irreduzibel
Ist mein Lösungsweg richtig???
Gruß
Cloe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Di 31.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
meiner meinung müsste sich bei reduktion modulo $3$ das polynom [mm] $x^3 [/mm] + x + 2$ ergeben, da $-17 = [mm] (-6)\cdot3 [/mm] + 1$. außerdem kannst zu in [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] eisenstein nicht anwenden, da gefordert wird, dass $p$ prim ist und in körpern gibt es keine primelemente, da alle von null verschiedenen elemente einheiten sind!
ich sehe leider keinen allzu eleganten zugang mittels irreduzibilitätskriterien. du könntest aber zeigen, dass ein polynom vom grad $3$ welches über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] reduzibel ist, mindestens eine rationale nullstelle haben muss und dass für alle rationalen nullstellen $a/b$ von $f$ gelten muss, dass $a$ das konstante glied und $b$ den leitkoeffizienten teilt, dass also gilt $a|8$ und $b|1$. dann bleiben aber nur noch 7 möglichkeiten für diese nullstelle und die muss man eben alle durchprobieren.
grüße
andreas
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