Irrationalität von \wurzel{n} < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 26.11.2006 | | Autor: | buchmann |
| Aufgabe | Gegeben sei eine natürliche Zahl n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \not= [/mm] 1 die nicht von einem Quadrat einer Primzahl geteilt wird.
Man beweise, dass [mm] \wurzel{n} [/mm] irrational ist. |
Hi,
Also wenn [mm] \wurzel{n} [/mm] rational wäre, dann müsste gelten:
[mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] mit a,b [mm] \in \IN [/mm] a,b teilerfremd
Also
[mm] n\*b^{2} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
Hm also meine Überlegung ist zu zeigen, dass wenn [mm] \wurzel{n} [/mm] rational wäre, n durch das Quadrat eine Primzahl teilbar wäre.
[mm] \bruch{n}{a^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b^{2}}
[/mm]
Aber jetzt weiss ich nicht genau weiter, wie ich das denn zeigen könnte. thx 4 help
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Hi, buchmann,
> Gegeben sei eine natürliche Zahl n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\not=[/mm] 1 die
> nicht von einem Quadrat einer Primzahl geteilt wird.
> Man beweise, dass [mm]\wurzel{n}[/mm] irrational ist.
> Also wenn [mm]\wurzel{n}[/mm] rational wäre, dann müsste gelten:
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] mit a,b [mm]\in \IN[/mm] a,b teilerfremd
>
> Also [mm]n\*b^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm]
Da nun a und b teilerfremd sind, kann [mm] a^{2} [/mm] nicht Teiler von [mm] b^{2} [/mm] sein.
Demnach müsste [mm] a^{2} [/mm] Teiler von n sein und n würde mindestens ein Quadrat einer Primzahl enthalten, was ein Widerspruch zur Anfangsbedingung darstellt.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 27.11.2006 | | Autor: | buchmann |
ah ja, danke : )
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