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| Aufgabe | | Behauptung: Ist A [mm] \in [/mm] M(n x n, [mm] \IR) [/mm] nilpotent, so ist [mm]E_n[/mm] + A invertierbar. |
Ich habe ein bisschen auf dieser Aufgabe herumgedacht und herumprobiert, wie ich die Behauptung zeigen kann, und habe dann im Endeffekt leider genau das Gegenteil bewiesen.
Vielleicht kann mir jemand sagen, wie ich die Behauptung beweisen kann und was an meinem Beweis (der genau gegenteiligen Aussage) nicht stimmt:
Zu zeigen: det([mm]E_n[/mm]+A) [mm] \not= [/mm] 0
Sei A nilpotent mit Nilpotenzindex q [mm] \in \IN.
[/mm]
Da E die Einheitsmatrix ist, gilt: AE = EA
Also kann man den Binomischen Lehrsatz anwenden:
[mm] (A+E)^q [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}A^qE^{q-k}
[/mm]
[mm] A^q [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}A^qE^{q-k} [/mm] = 0
[mm] \gdw (A+E)^q [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow det(A+E)^q [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A+E)*...*det(A+E) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A+E) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (A+E) ist nicht invertierbar
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Framl |
> Behauptung: Ist A [mm]\in[/mm] M(n x n, [mm]\IR)[/mm] nilpotent, so ist [mm]E_n[/mm] +
> A invertierbar.
> Ich habe ein bisschen auf dieser Aufgabe herumgedacht und
> herumprobiert, wie ich die Behauptung zeigen kann, und habe
> dann im Endeffekt leider genau das Gegenteil bewiesen.
>
> Vielleicht kann mir jemand sagen, wie ich die Behauptung
> beweisen kann und was an meinem Beweis (der genau
> gegenteiligen Aussage) nicht stimmt:
>
> Zu zeigen: det([mm]E_n[/mm]+A) [mm]\not=[/mm] 0
>
> Sei A nilpotent mit Nilpotenzindex q [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Da E die Einheitsmatrix ist, gilt: AE = EA
>
> Also kann man den Binomischen Lehrsatz anwenden:
>
> [mm](A+E)^q[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}A^qE^{q-k}[/mm]
>
> [mm]A^q[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}A^qE^{q-k}[/mm] = 0
> [mm]\gdw (A+E)^q[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow det(A+E)^q[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(A+E)*...*det(A+E) = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] det(A+E) = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (A+E) ist nicht invertierbar
>
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> Vielen Dank schon mal im Voraus :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hi, wenn [mm] $A^q=0$ [/mm] ist und $q$ der Nilpotenzindex der Matrix ist, dann heißt das, dass [mm] $A^j\neq 0,\:\forall [/mm] j=1,....,q-1$. Damit gilt
[mm] $\sum_{k=1}^q \binom{q}{k} A^q E^{q-k}=\sum_{k=1}^{\red{q-1}}\binom{q}{k} A^q E^{q-k}+0\neq [/mm] 0$.
Das [mm] $(A+E)^q [/mm] =0$ nicht gilt, wenn $A$ nilpotent ist, siehst du z.B. für $A=0$. Dann ist [mm] $(A+E)^q=E^q=E\neq [/mm] 0$
Gruß Framl
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