Invertierbarkeit mxn-Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Wann ist eine nicht-quadratische Matrix invertierbar?
Reicht es aus, wenn die Menge der Zeilen-/ Spaltenvektoren linear unabhängig ist?
Falk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 30.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Falk, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gleich mal vorweg: wie ist eure definition von "invertierbar" ?
ich kenne es so : e ist invertierbar, wenn es ein e' gibt, so dass ee'=e'e=1
wobei die 1 gerade das neutrale Element bzgl Multiplikation innerhalb des Körpers darstellt.
Das würde für Matrizen bedeuten : gesucht ist eine Matrix A', so dass
A*A'=A'*A=E (einheitsmatrix, ist quadratisch)
bei nicht-quadratischen nxm Matrizen kann man nun davon ausgehen, dass n>m oder m>n gilt - so ist dann eines der Produkte A*A' oder A'*A gar nicht definiert ! Demnach kann es keine Inverse geben...
also sind nur quadratische Matrizen invertierbar (es sei denn man schränkt sich auf Links- bzw. Rechtsinverse ein)
allgemein kann man sich das aber auch so überlegen : eine nxm Matrix über einen Körper K beschreibt eine lineare Abbildung von $ [mm] K^m [/mm] $ nach $ [mm] K^n [/mm] $, wenn also m>n, dann ist das sicher nicht injektiv und wenn n>m, dann sicher nicht surjektiv...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
