Invertierbarkeit einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 So 03.02.2013 | | Autor: | iakbue |
| Aufgabe | [mm] \vektor{\dot{x}_{s} \\ \dot{x}_{f}}=\pmat{ A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} }\vektor{x_{s} \\ x_{f}}
[/mm]
Es ist bekannt, dass die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] der gesamten Matrix A (= die Matrix mit den Einträgen A1 bis A4) immer < 0 sind. Die Einträge der Matrix A sind wiederum auch Matrizen wobei A4 immer eine quadratische Martix ist ohne Zeilen bzw. Spalten die = 0 sind.
Kann ich eine Aussage darüber treffen, ob A4 immer invertierbar ist? |
Also mein gedanke war es zu sagen, dass durch die Eigenwerte kleiner Null auch immer [mm] det(A4)\not=0 [/mm] gilt (Produkte der Eigenwerte=det), doch kann ich überhaupt von den Eigenwerten der gesamten Matrix auf die der Matrix A4 schliessen?
Danke schon mal für ideen!
Gruß
Marten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:20 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Betrachte doch mal den einfachsten Fall: die [mm] A_j [/mm] sind 1 x 1 -Matrizen.
Dann solltest Du sehen, dass [mm] A_4 [/mm] nicht inv. sein muß
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 04.02.2013 | | Autor: | iakbue |
Aber mit den Zeilen und Spalen [mm] \not= [/mm] 0 für A4 würde das doch bedeuten, dass die 1x1 Matrix [mm] A4\not=0 [/mm] gilt, daher sollte sie doch immer Invertierbar sein?
Oder versteh ich das jetzt falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber mit den Zeilen und Spalen [mm]\not=[/mm] 0 für A4 würde das
> doch bedeuten, dass die 1x1 Matrix [mm]A4\not=0[/mm] gilt, daher
> sollte sie doch immer Invertierbar sein?
>
> Oder versteh ich das jetzt falsch?
nein. Das mit den Zeilen und Spalen [mm]\not=[/mm] 0 für A4 habe ich überlesen.
Pardon.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 04.02.2013 | | Autor: | iakbue |
Da ich keine Infomation dazu finde, ob von den Eigenwerten und der Determinante der gesamten Matrix A auf das "verhalten" einer quadratischen Teilmatrix geschlossen werden kann, geh ich davon aus das keine Aussage möglich ist?
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Hiho,
nimm [mm] $A_1 [/mm] = 0, [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 }, A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ -1}, A_4 [/mm] = [mm] \pmat{-1 & 0 \\ -1 & 0}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 04.02.2013 | | Autor: | iakbue |
Aber bei A4 sollen die Zeilen/Spalten doch [mm] \not=0 [/mm] sein..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
$ [mm] A_1 [/mm] = -13, [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ -18 & -102 }, A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1}, A_4 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 6 \\ 1 & 6} [/mm] $
müsste als Gegenbeispiel klappen, allerdings ist für mich die Formulierung
> Es ist bekannt, dass die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] der gesamten
> Matrix A (= die Matrix mit den Einträgen A1 bis A4) immer
> < 0 sind.
etwas unklar : Auf was bezieht sich "immer" ?
Wenn es nur heißt, dass alle Eigenwerte von A kleiner 0 sind, sollte mein Gegenbeispiel ok sein. Wenn es aber heißt, dass zu gegebener Matrix [mm] A_4 [/mm] für jede beliebige Wahl der Matrizen [mm] A_1, [/mm] ..., [mm] A_3 [/mm] alle Eigenwerte negativ sind, bezweifle ich, dass es eine solche Matrix [mm] A_4 [/mm] überhaupt gibt.
Gruß Sax.
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