Invertierbarkeit einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 05.12.2004 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Zu zeigen: Eine n*n - Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn es keine n*n - Matrix B gibt, die nicht die O-Matrix ist, für die A*B die 0-Matrix ist.
Ich habe so angefangen, dass ich angenommen habe, dass es eine Matrix B gibt und versucht einen Wiederspruch aufzudecken, aber irgendwie hat das nicht geklappt. Gibt es vielleicht einen besseren Ansatz?
Danke Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 05.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marietta!
> Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
> Zu zeigen: Eine n*n - Matrix A ist genau dann
> invertierbar, wenn es keine n*n - Matrix B gibt, die nicht
> die O-Matrix ist, für die A*B die 0-Matrix ist.
> Ich habe so angefangen, dass ich angenommen habe, dass es
> eine Matrix B gibt und versucht einen Wiederspruch
> aufzudecken, aber irgendwie hat das nicht geklappt. Gibt es
> vielleicht einen besseren Ansatz?
Der Ansatz ist doch super.
Angenommen, $A$ ist invertierbar und es gibt eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $B [mm] \ne [/mm] 0$ mit $AB=0$.
Dann wäre doch
$0 = [mm] A^{-1} \cdot [/mm] 0 = [mm] A^{-1} [/mm] (AB) = [mm] (A^{-1}A)B [/mm] = [mm] E_n [/mm] B = B$,
Widerspruch.
Ist umgekehrt $A$ nicht invertierbar, dann gibt es ein $x [mm] \in \IK^n$, [/mm] $x [mm] \ne [/mm] 0$, mit $Ax=0$. Definiere nun eine Matrix $B$, in deren $n$ Spalten jeweils die Koordinaten von $x$ stehen. Dann gilt: $AB=0$.
Die Details überlasse ich dir. Bei konkreten Verständnisfragen kannst du gerne nachfragen oder deinen vollständigen Beweis zur Kontrolle hier hereinstelken.
Viele Grüße
Stefan
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