Invertierbarkeit einer Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 21.04.2009 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | Zeige, dass
f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] , f(x,y) = [mm] (e^{x}+e^{y},x-y) [/mm] in einer Umgebung von (0,0) invertierbar ist und berechne die Jacobi-Matrix der Umkehrfunktion im Punkt f(0,0) = (2,0). |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zu dieser Aufgabe. Hier mal mein Lösungsweg, jedenfalls so weit wie ich gekommen bin.
Zuallererst versuche ich mal zu schreiben, was ich weiß und hoffe auf Korrekturen: Der Umkehrsatz besagt (angewandt auf die Aufgabe), dass f genau dann in einer Umgebung von (0,0) invertierbar ist, wenn df(0,0) invertierbar ist, also [mm] detJ_{f} \not= [/mm] 0 ist.
Dafür berechne ich erst die partiellen Ableitungen: dxf(x,y) = [mm] \vektor{e^{x} \\ 1} [/mm] und dyf(x,y) = [mm] \vektor{e^{y} \\ -1}
[/mm]
Also ist [mm] J_{f}(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ e^{x} & e^{y} \\ 1 & -1 }
[/mm]
und damit [mm] J_{f}(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.
[/mm]
[mm] detJ_{f}(0,0) [/mm] = -2 [mm] \not= [/mm] 0 => f ist in Umgebung von (0,0) invertierbar. Ist das soweit korrekt?
Wie berechne ich jetzt [mm] J_(f^{-1})(2,0) [/mm] ? Invertiere ich die Jacobi-Matrix? Das wäre das einzige, was mir einfallen würde, aber leider könnte ich mir das nicht erklären. Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass
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> f: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] , f(x,y) = [mm](e^{x}+e^{y},x-y)[/mm] in
> einer Umgebung von (0,0) invertierbar ist und berechne die
> Jacobi-Matrix der Umkehrfunktion im Punkt f(0,0) = (2,0).
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Fragen zu dieser Aufgabe. Hier mal mein
> Lösungsweg, jedenfalls so weit wie ich gekommen bin.
>
> Zuallererst versuche ich mal zu schreiben, was ich weiß und
> hoffe auf Korrekturen: Der Umkehrsatz besagt (angewandt auf
> die Aufgabe), dass f genau dann in einer Umgebung von (0,0)
> invertierbar ist, wenn df(0,0) invertierbar ist, also
> [mm]detJ_{f} \not=[/mm] 0 ist.
"genau dann" stimmt nicht !
Beispiel: $f(x) = [mm] x^3$
[/mm]
>
> Dafür berechne ich erst die partiellen Ableitungen:
> dxf(x,y) = [mm]\vektor{e^{x} \\ 1}[/mm] und dyf(x,y) = [mm]\vektor{e^{y} \\ -1}[/mm]
>
> Also ist [mm]J_{f}(x,y)[/mm] = [mm]\pmat{ e^{x} & e^{y} \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> und damit [mm]J_{f}(0,0)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }.[/mm]
>
> [mm]detJ_{f}(0,0)[/mm] = -2 [mm]\not=[/mm] 0 => f ist in Umgebung von (0,0)
> invertierbar. Ist das soweit korrekt?
Ja
>
> Wie berechne ich jetzt [mm]J_(f^{-1})(2,0)[/mm] ? Invertiere ich die
> Jacobi-Matrix?
Ja
> Das wäre das einzige, was mir einfallen
> würde, aber leider könnte ich mir das nicht erklären. Es
> wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
Ableitung der Umkehrfunktion:
[mm] $(f^{-1})'(y_0) [/mm] = [mm] f'(x_0)^{-1} [/mm] $ wobei [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] y_0$
[/mm]
FRED
>
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 21.04.2009 | | Autor: | marteen |
Dankesehr!
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