Invertierbarkeit Dreiecksmatri < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] n\in\IN [/mm] und K ein Körper. Man beweise, dass jede obere Dreiecksmatrix [mm] A\in M_{n} [/mm] (K) mit [mm] a_{ii} [/mm] = 1 für alle [mm] i\in\{1,2,....,n\} [/mm] invertierbar ist. |
Ich weiß, dass gilt: Sei R ein Ring. Sei [mm] r\in [/mm] R ein nilpotentes Element, d.h. [mm] \exists n\in\IN [/mm] : [mm] r^n=0. [/mm] Dann ist 1-r invertierbar und es gilt [mm] (1-r)^{-1}=\summe_{i=0}^{m}r^i=1+r+...+r^m, [/mm] wobei [mm] r^{m+1}=0.
[/mm]
Wie kann ich das für meinen Beweis verwenden?
lg junglejam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 17.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Ist A eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von A. Da hier alle Hauptdiagonalelemente ungleich Null sind ist auch die Determinate [mm] \ne [/mm] 0 und somit ist A invertierbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Do 18.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
siehe auch hier
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