Invertierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 09.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$. [/mm] In welchen Punkten $(x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] ist $f$ lokal invertierbar? Ist $f: [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] --> [mm] \mathbb{R}^2$ [/mm] bijektiv? Man beschreibe $f$ in Polarkoordinaten. |
Meine Lösungsidee lautet wie folgt:
Ich habe mir mal angesehen, was die beiden Komponenten des oben genannte Vektors gemeinsam haben, habe diese also gleichgesetzt. Da da aber von vornherein ersichtlich schon (genau) zwei Lösungen resultieren, ist gezeigt, dass bei verschiedenen Eingaben gleiche Ausgabe folgt, was also der Injektivität und somit der Bijektivität widerspricht.
Bei der lokalen Invertierbarkeit vermute ich, dass es sich nur bei $(0,0)$ um einen solchen handelt, vermag aber im Moment dies nicht für mehr als diesen einen Punkt zeigen können.
Meine Frage an euch ist nun, ob es ein allgemeines Kriterium gibt, wie man die Invertierbarkeit feststellen kann. Ich habe dies z.B. mit einer Determinante versucht. Dort müsste ich ja schauen, welche Elemente bei Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ resultieren, diese müssten dann die Eigenschaft der lokalen Invertierbarkeit aufweisen. Nur, versagt es hier mir die gewöhnliche Determinantenformel anzuwenden, da mir bei $ad-bd$ immer 0 herauskommt, weil ich diese auf eine $2$ x $2$ Matrix ergänzt habe, mit der rechten Spalte $=0$...
An diesem Punkt komme ich leider nicht voran, die allgemeine Lebnizformel für Determianten dürfte hier auch nichts nützen...
Würde mich auf hilfreiche Kommentare freuen!
|
|
| |
|
Hallo clemenum,
> Sei [mm]f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)[/mm]. In welchen Punkten [mm](x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm]
> ist [mm]f[/mm] lokal invertierbar? Ist [mm]f: \mathbb{R}^2 --> \mathbb{R}^2[/mm]
> bijektiv? Man beschreibe [mm]f[/mm] in Polarkoordinaten.
> Meine Lösungsidee lautet wie folgt:
> Ich habe mir mal angesehen, was die beiden Komponenten des
> oben genannte Vektors gemeinsam haben, habe diese also
> gleichgesetzt. Da da aber von vornherein ersichtlich schon
> (genau) zwei Lösungen resultieren, ist gezeigt, dass bei
> verschiedenen Eingaben gleiche Ausgabe folgt, was also der
> Injektivität und somit der Bijektivität widerspricht.
> Bei der lokalen Invertierbarkeit vermute ich, dass es sich
> nur bei [mm](0,0)[/mm] um einen solchen handelt, vermag aber im
> Moment dies nicht für mehr als diesen einen Punkt zeigen
> können.
>
> Meine Frage an euch ist nun, ob es ein allgemeines
> Kriterium gibt, wie man die Invertierbarkeit feststellen
> kann. Ich habe dies z.B. mit einer Determinante versucht.
> Dort müsste ich ja schauen, welche Elemente bei
> Determinante [mm]\neq 0[/mm] resultieren, diese müssten dann die
> Eigenschaft der lokalen Invertierbarkeit aufweisen. Nur,
> versagt es hier mir die gewöhnliche Determinantenformel
> anzuwenden, da mir bei [mm]ad-bd[/mm] immer 0 herauskommt, weil ich
> diese auf eine [mm]2[/mm] x [mm]2[/mm] Matrix ergänzt habe, mit der rechten
> Spalte [mm]=0[/mm]...
> An diesem Punkt komme ich leider nicht voran, die
> allgemeine Lebnizformel für Determianten dürfte hier auch
> nichts nützen...
Als Kriterium für die lokale Invertierbarkeit in der
Umgebung eines Punktes [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)[/mm] dient die ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix.
Diese muss in dem besagten Punkt invertierbar sein.
> Würde mich auf hilfreiche Kommentare freuen!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 09.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ok, ich danke dir.
Doch, mir kommt nun folgende Jacobi Matrix heraus:
$Df(x,y)=$ [mm] \begin{pmatrix}
2x & -2y \\
2y & 2x
\end{pmatrix}
[/mm]
Die Determinante scheint hier nur bei $x=y=0$ null zu sein und sonst ist sie immer von 0 verschieden. Reicht dies für die Invertierbarkeit außer im Nullpunkt zu zeigen?
|
|
|
| |
|
Hallo clemenum,
> Ok, ich danke dir.
> Doch, mir kommt nun folgende Jacobi Matrix heraus:
> [mm]Df(x,y)=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
2x & -2y \\
2y & 2x
\end{pmatrix}[/mm]
> Die Determinante
> scheint hier nur bei [mm]x=y=0[/mm] null zu sein und sonst ist sie
> immer von 0 verschieden. Reicht dies für die
Das kannst Du sicher noch genauer sagen.
> Invertierbarkeit außer im Nullpunkt zu zeigen?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 09.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Naja, ich kann eigentlich nur noch folgendes dazu sagen:
Die Inverse Matrix lautet ja nun:
[mm] $A^{-1}= \frac{1}{4x^2+4y^2}\cdot \begin{pmatrix}
2x & 2y \\
-2y & 2x
\end{pmatrix}
[/mm]
Ersichtlich kann die Inverse nur bei einer von Null verschiedenen Determinanten existieren (da es sich sonst um einen Unbestimmten Ausdruck handeln würde). Daraus kann man nun schließen, dass diese in [mm] $\epsilon$ [/mm] Umgebungen von 0 existieret und zwar nur in diesen.
Das muss doch genau genug sein, oder (soll ich vielleicht noch die lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren zeigen, ich finde aber, dass dies nicht mehr dazu nötig ist).
|
|
|
| |
|
Hallo clemenum,
> Naja, ich kann eigentlich nur noch folgendes dazu sagen:
> Die Inverse Matrix lautet ja nun:
> [mm]$A^{-1}= \frac{1}{4x^2+4y^2}\cdot \begin{pmatrix}
2x & 2y \\
-2y & 2x
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ersichtlich kann die Inverse nur bei einer von Null
> verschiedenen Determinanten existieren (da es sich sonst um
> einen Unbestimmten Ausdruck handeln würde). Daraus kann
> man nun schließen, dass diese in [mm]\epsilon[/mm] Umgebungen von 0
> existieret und zwar nur in diesen.
> Das muss doch genau genug sein, oder (soll ich vielleicht
> noch die lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren zeigen,
> ich finde aber, dass dies nicht mehr dazu nötig ist).
Das ist auch genug.
Die Punktepaare für die die Determinante 0 wird, kannst Du angeben.
Hier ist es nur Ursprung (0,0).
Gruss
MathePower
|
|
|
|
