Invertierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab eine Verständnisfrage zu einem Beispiel:
Bsp.: Für welche a sind folgende Matrizen über dem angegeben Ring invertierbar:
[mm] \pmat{ -1 & 5 \\ 1 & a }
[/mm]
det A = -a -5 = 1 .... a = -6
-a - 5 = -1 ... a= -4
Das ist jetzt die Lösung aber woher erkenne ich dass det(A) in (R,.) invertierbar ist wenn Det = +-1?
Ich weiß es steht im Skript dass es so ist nur kann ich mir drunter nichts vorstellen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Nam |
Eine Matrix A ist invertierbar [mm]\gdw \det(A) \not=0[/mm]
Also [mm]-a -5 \not=0 \gdw a \not=-5[/mm]. Also ist die Matrix für alle a ungleich -5 invertierbar.
Warum setzt du det(A) = +- 1?
Die Matrix ist ja nicht orthogonal? Oder was meinst du?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo, na ja die Überschrift zu diesem Kapitel lautet Determinanten über Ringen.
Der entscheidene Satz lautet:
A in [mm] R^{n}_{n} [/mm] ist invertierbar(regulär) <-> det(A) ist in (R,*) ivertierbar.
Speziell ist A in [mm] Z^{n}_{n} [/mm] genau dann invertierbar, falls det(A) = +-1 ist.
Und dann haben wir einfach nur +-1 angenommen. Geht das leicht auch mit anderen Zahlen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Eine Matrix $A$ über einem Ring ist in der Tat genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det(A)$ [/mm] im Ring invertierbar ist. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz:
[mm] $\det(A \cdot [/mm] B) = [mm] \det(A) \cdot \det(B)$,
[/mm]
der auch in beliebigen Ringen gilt.
Wenn wir uns jetzt im Ring [mm] $\IZ$ [/mm] befinden, tritt die besondere Situation auf, dass es dort nur zwei invertierbare Elemente ("Einheiten") gibt, nämlich $1$ und $-1$.
Daher ist $A [mm] \in \IZ^{n \times n}$ [/mm] genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det(A)=\pm [/mm] 1$ ist.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:00 So 29.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Was wären z.b. in R die invertierbaren Elemente. Wieder +1,-1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 29.05.2005 | | Autor: | Nam |
Ohne zu wissen, was R ist, kann man das natürlich nicht sagen. Was ist denn der Ring R?
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