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Hallo Ihr,
Ich habe eine Frage.
Hier folgende Aufgabe:
Seien A,B [mm] \in M_n(K). [/mm] Zeigen Sie:
Ist [mm] (E_n [/mm] - AB) invertierbar, so ist auch [mm] (E_n [/mm] - BA) invertierbar.
Also ich muss beweisen, dass
[mm] (E_n [/mm] - AB) invertierbar [mm] \Rightarrow (E_n [/mm] - BA) invertierbar
Wie kann ich das beweisen?
Danke schonmal für eure Antworten.
MfG Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Micha |
> Hallo Ihr,
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> Ich habe eine Frage.
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> Hier folgende Aufgabe:
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> Seien A,B [mm]\in M_n(K).[/mm] Zeigen Sie:
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> Ist [mm](E_n[/mm] - AB) invertierbar, so ist auch [mm](E_n[/mm] - BA)
> invertierbar.
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> Also ich muss beweisen, dass
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> [mm](E_n[/mm] - AB) invertierbar [mm]\Rightarrow (E_n[/mm] - BA)
> invertierbar
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> Wie kann ich das beweisen?
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Normalerweise zeigt man die Invertierbarkeit über die Determinante.
Es gilt nämlich, dass eine Matrix invertierbar ist, genau dann wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Negieren wir mal die Aussage und versuchen einen Widerspruchsbeweis.
also kehren die Aussage um:
[mm] ($(E_n-BA)$ [/mm] ist nicht invertierbar [mm] $\gdw$ $\det (E_n-BA)= [/mm] 0$) [mm] $\Rightarrow$ ($\det (E_n-AB) [/mm] = 0 $ [mm] $\gdw$ $(E_n-AB)$ [/mm] ist nicht invertierbar.)
Mit [mm] $\det( E_n [/mm] - BA) = 0$ beginnst du also und versuchst zu zeigen, dass dann auch [mm] $\det( E_n [/mm] - AB) = 0$ ist. Das wäre ein Widerspruch und die Aussage wäre bewiesen.
Vielleicht hilft es dir ja!
Gruß Micha 
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