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Ist A [mm] \in M_{n×n}(K) [/mm] invertierbar, so ist die Standardabbildung [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^n,
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] Ax , bijektiv.
Beweis. Ist Ax = 0, so folgt x = E_nx = BAx = 0. Die Standardabbildung
[mm] K^n [/mm] -> [mm] K^n [/mm] ist also injektiv ( Umzu sagen, dass sie injektiv ist, müsste ich doch jetzt eigentlich zeigen, dass wenn BAx =0 => x=0 ist, oder?Warum kann ich das denn da schon sagen?? und daher bijektiv.
Kann mir jemand helfen??
Lg Sandra
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> Ist A [mm]\in M_{n×n}(K)[/mm] invertierbar, so ist die
> Standardabbildung [mm]K^n[/mm] -> [mm]K^n,[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] Ax , bijektiv.
>
Hallo,
setze voraus, daß A invertierbar ist. Es ex. also [mm] A^{-1}.
[/mm]
Nun zeigst Du, daß der Kern der durch [mm] f_A(x):=Ax [/mm] definierten Abbildung =0 ist.
Du sagst:
Sei x im Kern.
Dann ist Ax=0.
Nun die [mm] A^{-1} [/mm] draufloslassen.
Du wirst feststellen: x=0.
Wenn Du das hast, weiß Du das f injektiv ist.
Nun ist f ein Endomorphismus, und HIER ist injektiv <==> surjektiv <==> bijektiv.
Das darfst Du sicher verwenden. Auf jeden Fall MUSST Du es wissen. (Auch beweisen können am besten.)
Gruß v. Angela
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