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Hallo Zusammen!
Einen guten Rutsch ins neue Jahr wünsch ich Allen! 
Ich versuche gerade folgendes zu beweisen, und wollte euch fragen, ob mein Beweis stimmt:
| Aufgabe | Das Gauss'sche Eliminationsverfahren ist durchführbar [mm] $\gdw$
[/mm]
die Matrix [mm]A[/mm] ist invertierbar. Dann ist auch [mm]R[/mm] invertierbar. |
[mm]\Rightarrow:[/mm]
Da das Gauss-Verfahren durchführbar ist, existieren Frobenius-Matrizen
[mm]F_1,\dotsc,F_n[/mm], so daß
[mm]F_n\cdot{}\ldots\cdot{}F_1A = R[/mm]
Jetzt invertiere ich auf beiden Seiten:
[mm]\left(F_n\cdot{}\ldots\cdot{}F_1A\right)^{-1} = R^{-1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow A^{-1}F_1^{-1}\dotsb F_n^{-1} = R^{-1}[/mm]
Rechtsmultiplikation mit [mm]F_n\dotsb F_1[/mm] auf beiden Seiten ergibt:
[mm]A^{-1} = R^{-1}F_n\dotsb F_1[/mm]
Es bleibt zu zeigen, daß [mm]R[/mm] invertierbar ist. Dazu ist mir irgendwie nichts wirklich einfaches eingefallen ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . Gesucht ist also eine Matrix [mm]X[/mm] mit [mm]RX = E[/mm]
Wir gehen also von folgendem Gleichungssystem aus:
[mm]\begin{pmatrix}
r_{1,1} & r_{1,2} & \dots & r_{1,n}\\
{} & r_{2,2} & \dots & r_{2,n}\\
{} & {} & \ddots & \vdots\\
{} & {} & {} & r_{n,n}
\end{pmatrix}[/mm]
Durch Multiplikation mit folgender Matrix:
[mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{r_{1,1}} & -\frac{r_{1,2}}{r_{2,2}} & \dots & -\frac{r_{1,n}}{r_{n,n}}\\
0 & \frac{1}{r_{2,2}} & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & -\frac{r_{n-1,n}}{r_{n,n}}\\
0 & \dots & 0 & \frac{1}{r_{n,n}}
\end{pmatrix}[/mm]
Sollte man doch die Einheitsmatrix erhalten, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Also irgendwie komme ich hier schon seit min. einer Stunde nicht weiter. :-(
Hat jemand eine erleuchtende Idee? 
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 01.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Karl
Wenn R eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist die Determinante von R einfach das Produkt aller Diagonalelemente:
[mm] $\mathrm{det}(R)=\prod_{i=1}^n r_{i,i}$.
[/mm]
Dann ist R invertierbar, wenn keines der [mm] $r_{i,i}$ [/mm] gleich 0 ist.
mfG Moudi
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Hallo Moudi!
> Wenn R eine obere Dreiecksmatrix ist, dann ist die
> Determinante von R einfach das Produkt aller
> Diagonalelemente:
> [mm]\mathrm{det}(R)=\prod_{i=1}^n r_{i,i}[/mm].
>
> Dann ist R invertierbar, wenn keines der [mm]r_{i,i}[/mm] gleich 0
> ist.
Das hatte ich sogar schon in Erwägung gezogen. Aber müßte man den nicht erst zeigen, daß
[mm] $\left(\star\right)\quad\det [/mm] A [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \gdw A^{-1}\texttt{ ist invertierbar}$?
[/mm]
Sonst kann ich doch nicht über Determinanten argumentieren?
Oder zeige ich (*) quasi so "nebenbei", wenn ich meinen Hauptbeweis zum Gauss-Algorithmus führe?
Also wenn das wirklich stimmt, dann müßte mein Beweis sonst doch richtig sein, oder?
Danke!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 01.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Karl
Es kommt darauf an, was du genau meinst mit das Gausssche Eliminationsverfahren ist durchführbar.
Das Gausssche Eliminationsverfahren ist immer durchführbar, auch bei nicht regulären Gleichungssystemen und mit Gleichungssystemen, bei denen die Gleichungsanzahl nicht mit der Variablenanzahl übereinstimmt. In diesen Fällen führt das Verfahren auf ein äquivalentes Gleichungssystem auf Zeilenstufenform.
Aber die Aussage ist klar, wegen der Regularität der Frobeniusmatrizen, ist A genau dann invertierbar, wenn R invertierbar ist.
mfG Moudi
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Hallo Moudi!
Danke für deine Hilfe!
... eine kleine Frage habe ich noch zu dieser Aufgabe.
Wie geht man hier bei der Rückrichtung vor? Über die Determinante kann man hier doch nun wirklich nicht mehr argumentieren, oder? Denn einfach zu sagen:
"[mm]\exists A^{-1} {\color{red}\Rightarrow} \det A \ne 0 \Rightarrow \texttt{System eindeutig bestimmt, und Gauss--Algorithmus durchführbar.}[/mm]"
wäre doch eine Art Zirkelargumentation, da ich ja um [mm] $\det [/mm] A [mm] \ne [/mm] 0$ zu zeigen, erst die Existenz einer Zerlegung $LR$ von [mm]A[/mm] "stillschweigend" annehmen müßte. Aber wie kommt man hier sonst weiter?
Vielen Dank!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Karl
Ich glaube die Umkehrung funktioniert gar nicht!
Nimm mal eine reguläre Matrix mit [mm] $a_{11}=0$, [/mm] dann muss du zuerst Zeilen vertauschen. Die entsprechnenden Frobeniusmatrizen sind in diesem Fall aber keine L-Matrizen mehr.
Die reguläre Matix $A= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$ [/mm] besitzt keine LR-Zerlegung!
mfG Moudi
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