Invertierbark. bei Eig(Lam)=0 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert von A ist. |
Hallo zusammen,
klar ist, dass wenn der Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 0 ist, dass die Abbildung dann der Nullvektor ist und es damit die triviale Lösung wäre.
Ich nehme aber trotzdem [mm] \lambda [/mm] = 0 um mit der Def. zu arbeiten:
Annahme: [mm] \lambda [/mm] = 0
Laut Deffiniton gilt: Ax = [mm] \lambda [/mm] EX [mm] \gdw [/mm] Ax = 0Ex [mm] \gdw [/mm] Ax = 0x
Für einen beliebigen Eigenvektor x [mm] \in [/mm] V mit x [mm] \not= [/mm] 0 folgt A=0.
Aber: 0 [mm] \not= [/mm] invertierbar, da 0*0 [mm] \not= [/mm] E (Widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung)
Was haltet ihr davon?
Viele Grüße
Semi
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Hi,
> Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar,
> wenn 0 kein Eigenwert von A ist.
> Hallo zusammen,
> klar ist, dass wenn der Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 0 ist, dass
> die Abbildung dann der Nullvektor ist und es damit die
> triviale Lösung wäre.
Du meinst sicherlich, dass der Eigenraum zum Eigenwert 0 der Nullraum bzw. Kern der Abbildung ist. Jo, stimmt schon
>
> Ich nehme aber trotzdem [mm]\lambda[/mm] = 0 um mit der Def. zu
> arbeiten:
>
> Annahme: [mm]\lambda[/mm] = 0
> Laut Deffiniton gilt: Ax = [mm]\lambda[/mm] EX [mm]\gdw[/mm] Ax = 0Ex [mm]\gdw[/mm] Ax = 0x
Was bedeutet denn hier das EX? Da müsste dann wieder der Eigenvektor stehen, wenn x der Eigenvektor ist...
> Für einen beliebigen Eigenvektor x [mm]\in[/mm] V zum Eigenwert 0 mit x [mm]\not=[/mm] 0
> folgt [mm] A\red{x}=0. [/mm]
> Aber: 0 [mm]\not=[/mm] invertierbar, da 0*0 [mm]\not=[/mm] E (Widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm] die Behauptung)
Hier ist mir gar nicht klar, worauf du hinaus willst.
Es hängt davon, über welche Eigenschaften du bereits Invertierbarkeit charakterisiert hast.
Z.B: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
Da die Matrix den Eigenwert 0 hat, hat die Matrix keinen vollen Rang, da der Nullraum (=der Kern) eine Dimension [mm] \geq [/mm] 1 hat (es gibt Vektoren [mm] \neq [/mm] 0, die auf 0 abgebildet werden)
Gruß
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> Du meinst sicherlich, dass der Eigenraum zum Eigenwert 0
> der Nullraum bzw. Kern der Abbildung ist. Jo, stimmt
> schon
> > genau :)
> > Ich nehme aber trotzdem [mm]\lambda[/mm] = 0 um mit der Def. zu
> > arbeiten:
> >
> > Annahme: [mm]\lambda[/mm] = 0
> > Laut Deffiniton gilt: Ax = [mm]\lambda[/mm] EX [mm]\gdw[/mm] Ax = 0Ex [mm]\gdw[/mm]
> Ax = 0x
> Was bedeutet denn hier das EX? Da müsste dann wieder der
> Eigenvektor stehen, wenn x der Eigenvektor ist... genau, das große X ist eigentlich ein kleines und ist der Eigenvektor
> > Für einen beliebigen Eigenvektor x [mm]\in[/mm] V zum
> Eigenwert 0 mit x [mm]\not=[/mm] 0
> > folgt [mm]A\red{x}=0.[/mm]
> > Aber: 0 [mm]\not=[/mm] invertierbar, da 0*0 [mm]\not=[/mm] E (Widerspruch
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Behauptung)
> Hier ist mir gar nicht klar, worauf du hinaus willst.
> Ich dachte, wenn ich über die Definition gehe, kann ich zeigen, dass Ax dann die Nullmatrix ist. Da aber (wenn ich recht in der Annahme bin) nur invertierbare Matrizen einen Eigenwert haben, müsste auch die Nullmatrix invertierbar sein. Da gilt dann nach Definition: [mm] A*A^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1}*A= [/mm] E (E ist Einheitsmatrix). Aber 0*0 [mm] \not= [/mm] E und daraus habe ich geschlossen, dass Ax = 0 nicht invertierbar ist und somit keinen Eigenwert 0 haben kann.
> Es hängt davon, über welche Eigenschaften du bereits
> Invertierbarkeit charakterisiert hast.
> Z.B: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie
> vollen Rang hat. das heißt doch, dass wenn ich den Gaußalgorythmus anwende, dürfen keine Spalten vollens null werden (darf also kein Spaltenvektor gleich 0 sein
> Da die Matrix den Eigenwert 0 hat, hat die Matrix keinen
> vollen Rang, da der Nullraum (=der Kern) eine Dimension
> [mm]\geq[/mm] 1 hat (es gibt Vektoren [mm]\neq[/mm] 0, die auf 0 abgebildet das verstehe ich absolut. Die Dim(Bild) ist kleiner als die Dim(V) bei z. Bsp: f:V [mm] \to [/mm] W (man denkt an die Rangformel)
> werden)
>
> Gruß
>
Also muss die Antwort auf die Behauptung lauten: Richtig, denn wäre [mm] \lambda [/mm] = 0 ein Eigenwert so gäbe es mindestens einen Eigenvektor x der auf den Nullraum abgebildet wird woraus mit Dim(V) = Dim(Ker(A)) + Dim(im(A)) = n folgt, Rag(im(A)) [mm] \le [/mm] n-1 [mm] \le [/mm] Rag(V) = n ?
Notiz: Für Korrekturen an meinem Ausdruck bin ich auch dankbar :)
Viele Grüße
Semi
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> > > Annahme: [mm]\lambda[/mm] = 0
> > > Laut Deffiniton gilt: Ax = [mm]\lambda[/mm] EX [mm]\gdw[/mm] Ax = 0Ex [mm]\gdw[/mm]
> > Ax = 0x
> > Was bedeutet denn hier das EX? Da müsste dann wieder
> der
> > Eigenvektor stehen, wenn x der Eigenvektor ist... genau,
> das große X ist eigentlich ein kleines und ist der
> Eigenvektor
> > > Für einen beliebigen Eigenvektor x [mm]\in[/mm] V zum
> > Eigenwert 0 mit x [mm]\not=[/mm] 0
> > > folgt [mm]A\red{x}=0.[/mm]
> > > Aber: 0 [mm]\not=[/mm] invertierbar, da 0*0 [mm]\not=[/mm] E (Widerspruch
> > [mm]\Rightarrow[/mm] die Behauptung)
> > Hier ist mir gar nicht klar, worauf du hinaus willst.
> > Ich dachte, wenn ich über die Definition gehe, kann
> ich zeigen, dass Ax dann die Nullmatrix ist.
Unsinn, vergiss den Ansatz lieber. Ax ist ein Vektor des Bildes.
> Da aber (wenn ich recht in der Annahme bin) nur invertierbare Matrizen
> einen Eigenwert haben,
Nein! Es gibt auch nicht invertierbare Matrizen mit Eigenwert, zum Beispiel die Nullmatrix mit Eigenwert 0.
> müsste auch die Nullmatrix invertierbar sein. Da gilt dann nach Definition: [mm]A*A^{-1}[/mm] =
> [mm]A^{-1}*A=[/mm] E (E ist Einheitsmatrix). Aber 0*0 [mm]\not=[/mm] E und
> daraus habe ich geschlossen, dass Ax = 0 nicht invertierbar
> ist und somit keinen Eigenwert 0 haben kann.
Du liegst hier leider völlig daneben...
> > Es hängt davon, über welche Eigenschaften du bereits
> > Invertierbarkeit charakterisiert hast.
> > Z.B: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie
> > vollen Rang hat. das heißt doch, dass wenn ich den
> Gaußalgorythmus anwende, dürfen keine Spalten vollens
> null werden (darf also kein Spaltenvektor gleich 0 sein
Keine Zeilen, wenn du Zeilenoperationen ausführst.
> > Da die Matrix den Eigenwert 0 hat, hat die Matrix keinen
> > vollen Rang, da der Nullraum (=der Kern) eine Dimension
> > [mm]\geq[/mm] 1 hat (es gibt Vektoren [mm]\neq[/mm] 0, die auf 0 abgebildet
> das verstehe ich absolut. Die Dim(Bild) ist kleiner als die
> Dim(V) bei z. Bsp: f:V [mm]\to[/mm] W (man denkt an die Rangformel)
> > werden)
> >
> > Gruß
> >
> Also muss die Antwort auf die Behauptung lauten: Richtig,
> denn wäre [mm]\lambda[/mm] = 0 ein Eigenwert so gäbe es mindestens
> einen Eigenvektor x der auf den Nullraum abgebildet wird
> woraus mit Dim(V) = Dim(Ker(A)) + Dim(im(A)) = n folgt,
> Rag(im(A)) [mm]\le[/mm] n-1 [mm]\le[/mm] Rag(V) = n ?
x muss [mm] \neq [/mm] 0 sein. Ansonsten ist das der Beweis zusammen mit der Charakterisierung von Invertierbarkeit über den vollen Rang, allerdings nur für die eine Richtung "Gibt es einen Eigenwert 0, so ist die Matrix nicht invertierbar".
Was ist mit der anderen? Dann gibt es maximal Eigenwerte [mm] \neq0, [/mm] d.h. die Determinante von A ist [mm] \neq0, [/mm] [...]
> Notiz: Für Korrekturen an meinem Ausdruck bin ich auch
> dankbar :)
>
> Viele Grüße
> Semi
Gruß
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> > Da aber (wenn ich recht in der Annahme bin) nur
> invertierbare Matrizen
> > einen Eigenwert haben,
> Nein! Es gibt auch nicht invertierbare Matrizen mit
> Eigenwert, zum Beispiel die Nullmatrix mit Eigenwert 0.
Verstehe ich.
> > müsste auch die Nullmatrix invertierbar sein. Da gilt
> dann nach Definition: [mm]A*A^{-1}[/mm] =
> > [mm]A^{-1}*A=[/mm] E (E ist Einheitsmatrix). Aber 0*0 [mm]\not=[/mm] E
> und
> > daraus habe ich geschlossen, dass Ax = 0 nicht
> invertierbar
> > ist und somit keinen Eigenwert 0 haben kann.
> Du liegst hier leider völlig daneben...
> > > Es hängt davon, über welche Eigenschaften du
> bereits
> > > Invertierbarkeit charakterisiert hast.
> > > Z.B: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn
> sie
> > > vollen Rang hat. das heißt doch, dass wenn ich den
> > Gaußalgorythmus anwende, dürfen keine Spalten vollens
> > null werden (darf also kein Spaltenvektor gleich 0 sein
> Keine Zeilen, wenn du Zeilenoperationen ausführst.
[green]<= Stimmt, ich war gedanklich wohl gerade bei den [mm] Dimensionen....[\green]
[/mm]
> > > Da die Matrix den Eigenwert 0 hat, hat die Matrix
> keinen
> > > vollen Rang, da der Nullraum (=der Kern) eine Dimension
> > > [mm]\geq[/mm] 1 hat (es gibt Vektoren [mm]\neq[/mm] 0, die auf 0 abgebildet
> > das verstehe ich absolut. Die Dim(Bild) ist kleiner als
> die
> > Dim(V) bei z. Bsp: f:V [mm]\to[/mm] W (man denkt an die
> Rangformel)
> > > werden)
> > >
> > > Gruß
> > >
> > Also muss die Antwort auf die Behauptung lauten: Richtig,
> > denn wäre [mm]\lambda[/mm] = 0 ein Eigenwert so gäbe es
> mindestens
> > einen Eigenvektor x der auf den Nullraum abgebildet
> wird
> > woraus mit Dim(V) = Dim(Ker(A)) + Dim(im(A)) = n folgt,
> > Rag(im(A)) [mm]\le[/mm] n-1 [mm]\le[/mm] Rag(V) = n ?
> x muss [mm]\neq[/mm] 0 sein. Ansonsten ist das der Beweis zusammen
> mit der Charakterisierung von Invertierbarkeit über den
> vollen Rang, allerdings nur für die eine Richtung "Gibt es
> einen Eigenwert 0, so ist die Matrix nicht invertierbar".
> Was ist mit der anderen? Dann gibt es maximal Eigenwerte
> [mm]\neq0,[/mm] d.h. die Determinante von A ist [mm]\neq0,[/mm] [...]
Da komme ich jetzt nicht mit. Die Charakterisierung über den vollen Rang ist mir klar verständlich. Dass [mm] x\not= [/mm] 0 gelten muss auch. Aber das ist ja schon die Voraussetzung sonst würde ja immer Ax = 0 = [mm] \lambda [/mm] * E * x wegen x = 0 gelten. Aber das ist doch das was ich mit Hilfe der Dimensionsformel aussage!?
Was meinst du mit "Was ist mit der anderen...." ?
grüße
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Hallo,
> > x muss [mm]\neq[/mm] 0 sein. Ansonsten ist das der Beweis
> zusammen
> > mit der Charakterisierung von Invertierbarkeit über den
> > vollen Rang, allerdings nur für die eine Richtung "Gibt es
> > einen Eigenwert 0, so ist die Matrix nicht invertierbar".
> > Was ist mit der anderen? Dann gibt es maximal
> Eigenwerte
> > [mm]\neq0,[/mm] d.h. die Determinante von A ist [mm]\neq0,[/mm] [...]
>
> Da komme ich jetzt nicht mit. Die Charakterisierung über
> den vollen Rang ist mir klar verständlich. Dass [mm]x\not=[/mm] 0 gelten muss auch. Aber das ist ja schon die Voraussetzung
> sonst würde ja immer Ax = 0 = [mm]\lambda[/mm] * E * x wegen x = 0
> gelten. Aber das ist doch das was ich mit Hilfe der
> Dimensionsformel aussage!?
Das war nur eine kleine Anmerkung, wie du schon sagst muss es ein von 0 verschiedener Vektor sein, der auf 0 abgebildet wird.
> Was meinst du mit "Was ist mit der anderen...." ?
.. Richtung.
Bis dahin hast du die Kontraposition von "Ist die quadratische Matrix A invertierbar, so gibt es keinen Eigenwert 0" gezeigt:
A hat Eigenwert 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A ist nicht invertierbar.
Zu zeigen ist aber die Äquivalenz.
Für die Rückrichtung musst du noch zeigen:
Wenn 0 kein Eigenwert ist, dann ist die quadratische Matrix A invertierbar.
Gruß
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[mm] \lambda \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] p(\lambda) [/mm] = det(A - [mm] \lambda [/mm] * E) [mm] \Rightarrow [/mm] Ax - [mm] \lambda [/mm] * E * x = 0 [mm] \gdw [/mm] Ax = [mm] \lambda [/mm] * E *x [mm] \gdw [/mm] Ax = Ax [mm] \gdw A^{-1} [/mm] Ax =x
Und?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm]p(\lambda)[/mm] = det(A -
> [mm]\lambda[/mm] * E) [mm]\Rightarrow[/mm] Ax - [mm]\lambda[/mm] * E * x = 0 [mm]\gdw[/mm] Ax =
> [mm]\lambda[/mm] * E *x [mm]\gdw[/mm] Ax = Ax [mm]\gdw A^{-1}[/mm] Ax =x
>
> Und?
Völliger Quark
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Di 22.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Ist p das char. Polynom von A, also $p(t)= det(A-tE)$, so gilt:
0 ist kein Eigenwert von A [mm] \gdw [/mm] 0 ist keine Nullstelle von p [mm] \gdw [/mm] $0 [mm] \ne [/mm] p(0) = det(A)$
FRED
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Hallo Fred,
hier verstehe ich nur die letzte Äquivalenzumformung nicht ganz.
Klar ist mir, dass die Eigenwerte die Nullstellen des C-Polynoms sind.
Du schreibst: "p(t)= det(A-tE)"
und "0 [mm] \ne [/mm] p(0) = det(A)".
Also für t = 0 (t sind die Eigenwerte) würde ich mal ganz salopp formolieren: Wenn t =0 ist dann ist das C-Polynom gleich der det(A) "weil nichts abgezogen werden kann" und weswegen es auch keinen Wert für t = 0 gibt wenn man das C-Polynom auf seine Nullstellen hin untersucht.
Ich habe da noch eine Frage. Warum werden die Eigenwerte von einer Matrix subtrahiert? Dadurch bekomme ich doch auch nur ein p(t) das dem Ax = b entspricht nur ohne Streckungsfaktoren. Etwas sehr verbalisiert aber ich versuche es noch zu fassen.
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> Hallo Fred,
> hier verstehe ich nur die letzte Äquivalenzumformung
> nicht ganz.
> Klar ist mir, dass die Eigenwerte die Nullstellen des
> C-Polynoms sind.
> Du schreibst: "p(t)= det(A-tE)"
> und "0 [mm]\ne[/mm] p(0) = det(A)".
Hallo,
das ist aber eine arg verkürzte Nacherzählung dessen, was Fred Dir schreibt.
>
> Also für t = 0 (t sind die Eigenwerte) würde ich mal ganz
> salopp formolieren: Wenn t =0 ist dann ist das C-Polynom
Redest Du vom charakteristischen Polynom?
> gleich der det(A) "weil nichts abgezogen werden kann"
Nein, das ist nicht salopp formuliert, sondern falsch.
Egal, ob der Eigenwert 0 ist oder 9876, es ist das charakteristische Polynom in jedem Fall p(t):=det(A-tE).
Wenn wir nun den Eigenwert 0 haben, dann ist t=0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynom. Es ist also in diesem Fall p(0)=0 (=det A).
Und wenn 0 kein Eigenwert von A ist, dann ist t=0 keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Es ist in diesem Falle also [mm] 0\not=p(0) [/mm] (=det A)
> und
> weswegen es auch keinen Wert für t = 0 gibt wenn man das
> C-Polynom auf seine Nullstellen hin untersucht.
???
>
> Ich habe da noch eine Frage. Warum werden die Eigenwerte
> von einer Matrix subtrahiert?
Es werden nicht die Eigenwerte subtrahiert.
Interessierst Du Dich für die Eigenwerte einer Matrix A, so interessierst Du Dich dafür, ob es [mm] \lambda [/mm] gibt mit [mm] Av=\lambda [/mm] v für [mm] v\not=0,
[/mm]
ob es also Vektoren v gibt, die auf das [mm] \lambda-fache [/mm] von sich selbst abgebildet werden.
Diese Fragestellung ist gleichbedeutend mit
[mm] Av-\lambda [/mm] v=0 [mm] <==>(A-\lambda [/mm] E)v=0.
Gibt es von 0 verschiedene Vektoren v, für welche das gilt, so muß [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0 sein.
Und für welche [mm] \lambda [/mm] dies der Fall ist, findet man halt heraus, indem man die Nullstellen von p(t)=det(a-tE) bestimmt.
Ich hoffe, daß Dir das Tun und der Grund dafür nun etwas klarer sind.
> Dadurch bekomme ich doch auch
> nur ein p(t) das dem Ax = b entspricht nur ohne
> Streckungsfaktoren.
???
> Etwas sehr verbalisiert
Daß Du es in Worten ausdrückst, ist kein Problem, sondern die Unverständlichkeit dessen, was Du sagst...
Gruß v. Angela
> aber ich
> versuche es noch zu fassen.
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> > Hallo Fred,
> > hier verstehe ich nur die letzte Äquivalenzumformung
> > nicht ganz.
> > Klar ist mir, dass die Eigenwerte die Nullstellen des
> > C-Polynoms sind.
> > Du schreibst: "p(t)= det(A-tE)"
> > und "0 [mm]\ne[/mm] p(0) = det(A)".
>
> Hallo,
>
> das ist aber eine arg verkürzte Nacherzählung dessen, was
> Fred Dir schreibt.
>
> >
> > Also für t = 0 (t sind die Eigenwerte) würde ich mal ganz
> > salopp formolieren: Wenn t =0 ist dann ist das C-Polynom
>
> Redest Du vom charakteristischen Polynom?
Ja. p(t)= det(A-tE). Das Charakteristische Polynom ist die Determinante aus der Matrix A von der die Einheitsmatrix multipliziert mit dem/n Eigenwerten subtrahiert werden, bezüglich (eines) bestimmten/r Eigenwerte t.
>
> > gleich der det(A) "weil nichts abgezogen werden kann"
>
> Nein, das ist nicht salopp formuliert, sondern falsch.
> Egal, ob der Eigenwert 0 ist oder 9876, es ist das
> charakteristische Polynom in jedem Fall p(t):=det(A-tE).
und da meinte ich nur, da t = 0 ist und 0*E =0 ist entspricht das Charakteristische Polynom der det(A)
>
>
> Wenn wir nun den Eigenwert 0 haben, dann ist t=0 eine
> Nullstelle des charakteristischen Polynom. Es ist also in
> diesem Fall p(0)=0 (=det A).
Ok, und die det(A) darf aber nicht 0 sein.
>
> Und wenn 0 kein Eigenwert von A ist, dann ist t=0 keine
> Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Es ist in
> diesem Falle also [mm]0\not=p(0)[/mm] (=det A)
>
>
> > und
> > weswegen es auch keinen Wert für t = 0 gibt wenn man das
> > C-Polynom auf seine Nullstellen hin untersucht.
>
> ???
>
> >
> > Ich habe da noch eine Frage. Warum werden die Eigenwerte
> > von einer Matrix subtrahiert?
>
> Es werden nicht die Eigenwerte subtrahiert.
(A - [mm] \lambda [/mm] * E)v = 0 ; Da multipliziere ich einen Eigenwert und subtrahiere ihn von der Matrix A. Insgesamt frage ich mich natürlich für welche [mm] \lambda [/mm] und v [mm] \not= [/mm] 0 das Charakteristische Polynom 0 ist.
>
> Interessierst Du Dich für die Eigenwerte einer Matrix A,
> so interessierst Du Dich dafür, ob es [mm]\lambda[/mm] gibt mit
> [mm]Av=\lambda[/mm] v für [mm]v\not=0,[/mm]
> ob es also Vektoren v gibt, die auf das [mm]\lambda-fache[/mm] von
> sich selbst abgebildet werden.
Ja, das weiß ich.
>
> Diese Fragestellung ist gleichbedeutend mit
>
> [mm]Av-\lambda[/mm] v=0 [mm]<==>(A-\lambda[/mm] E)v=0.
>
> Gibt es von 0 verschiedene Vektoren v, für welche das
> gilt, so muß [mm]det(A-\lambda[/mm] E)=0 sein.
> Und für welche [mm]\lambda[/mm] dies der Fall ist, findet man halt
> heraus, indem man die Nullstellen von p(t)=det(a-tE)
> bestimmt.
Hab ich auch verstanden.
>
> Ich hoffe, daß Dir das Tun und der Grund dafür nun etwas
> klarer sind.
>
>
> > Dadurch bekomme ich doch auch
> > nur ein p(t) das dem Ax = b entspricht nur ohne
> > Streckungsfaktoren.
>
> ???
>
>
> > Etwas sehr verbalisiert
>
> Daß Du es in Worten ausdrückst, ist kein Problem, sondern
> die Unverständlichkeit dessen, was Du sagst...
das liegt an meinem Unvermögen... :)
>
> Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> > aber ich
> > versuche es noch zu fassen.
>
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> >
> > > Hallo Fred,
> > > hier verstehe ich nur die letzte
> Äquivalenzumformung
> > > nicht ganz.
> > > Klar ist mir, dass die Eigenwerte die Nullstellen des
> > > C-Polynoms sind.
> > > Du schreibst: "p(t)= det(A-tE)"
> > > und "0 [mm]\ne[/mm] p(0) = det(A)".
> >
> > Hallo,
> >
> > das ist aber eine arg verkürzte Nacherzählung dessen, was
> > Fred Dir schreibt.
> >
> > >
> > > Also für t = 0 (t sind die Eigenwerte) würde ich mal ganz
> > > salopp formolieren: Wenn t =0 ist dann ist das C-Polynom
> >
> > Redest Du vom charakteristischen Polynom?
> Ja. p(t)= det(A-tE). Das Charakteristische Polynom ist die
> Determinante aus der Matrix A von der die Einheitsmatrix
> multipliziert mit dem/n Eigenwerten subtrahiert werden,
> bezüglich (eines) bestimmten/r Eigenwerte t.
Hallo,
das charakteristische Polynom von A ist als [mm] p_A(t)=det(A-tE).
[/mm]
Da wird nichts "bzgl eines bestimmten Eigenwertes subtrahiert".
t ist eine Variable.
Wenn Du für t eine Zahl einsetzt,z.B. t=5, bekommst Du den Funktionswert des Polynoms an der eingesetzen Stelle, p(5)=det(A-5E), eine Zahl.
>
> >
> > > gleich der det(A) "weil nichts abgezogen werden kann"
> >
> > Nein, das ist nicht salopp formuliert, sondern falsch.
> > Egal, ob der Eigenwert 0 ist oder 9876, es ist das
> > charakteristische Polynom in jedem Fall p(t):=det(A-tE).
> und da meinte ich nur, da t = 0 ist und 0*E =0 ist
> entspricht das Charakteristische Polynom der det(A)
Nein! Das charakteristische Polynom ist immer [mm] p_A(t)=det(A-tE).
[/mm]
Sein Wert an der Stelle t=0 ist [mm] p_A(0)=det [/mm] A.
> >
> >
> > Wenn wir nun den Eigenwert 0 haben, dann ist t=0 eine
> > Nullstelle des charakteristischen Polynom. Es ist also in
> > diesem Fall p(0)=0 (=det A).
> Ok, und die det(A) darf aber nicht 0 sein.
Worum geht's jetzt gerade?
Die det ist 0, wenn die Matrix nicht invertierbar ist, und sie ist ungleich 0, wenn die Matrix invertierbar ist.
Wenn die Matrix invertierbar ist, ist 0 kein Eigenwert.
> >
> > Und wenn 0 kein Eigenwert von A ist, dann ist t=0 keine
> > Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Es ist in
> > diesem Falle also [mm]0\not=p(0)[/mm] (=det A)
> >
> >
> > > und
> > > weswegen es auch keinen Wert für t = 0 gibt wenn man das
> > > C-Polynom auf seine Nullstellen hin untersucht.
> >
> > ???
> >
> > >
> > > Ich habe da noch eine Frage. Warum werden die Eigenwerte
> > > von einer Matrix subtrahiert?
> >
> > Es werden nicht die Eigenwerte subtrahiert.
> (A - [mm]\lambda[/mm] * E)v = 0 ; Da multipliziere ich einen
> Eigenwert und subtrahiere ihn von der Matrix A.
Nein. Du subrahierst eine Matrix von A, nämlich das [mm] \lambda-fache [/mm] der Einheitsmatrix. Dies äußert sich dann so, daß man auf der Hauptdiagonalen [mm] \lambda [/mm] abzieht.
> Insgesamt
> frage ich mich natürlich für welche [mm]\lambda[/mm] und v [mm]\not=[/mm] 0
> das Charakteristische Polynom 0 ist.
Man fragt sich, für welche [mm] \lambda [/mm] das charakteristische Polynom =0 ist.
Hat man ein solches [mm] \lambda [/mm] gefunden, dann berechnet man, für welche v gilt
[mm] (A-\lambda [/mm] E)v=0.
Damit bekommt man dann die zu [mm] \lambda [/mm] gehörigen Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
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