Invertierbare Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Behauptung: Alle reellen 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen X mit X [mm] \not= [/mm] 0 sind invertierbar. |
Hallo,
also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, ob die behauptung stimmt, weil damit eine Matrix A invertierbar ist, braucht man immer eine Matrix B, oder?
Aber was mich stutzig macht, ist dass es sich ja oben um eine quadratische Matrix handelt..also das ist ja vorraussetzung..
aber stimmt jetzt die behauptung?
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Do 02.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Informacao
Die notwendige und hinreichende Bedingung dass eine Matrix X invertierbar ist, ist, dass ihre Determinante nicht null ist:
[mm]\det X \neq 0[/mm]
Die Behauptung stimmt nicht.
Schöne Grüße, 
galileo
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achsooo..danke das hab ich verstanden
kannst du mal schauen, ob das hier stimmt:
A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in M_{2,2}(\IR), [/mm] dann ist [mm] A^{-1}= \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Ich glaube, das stimmt nicht..weil das d und das a vertauscht sind, oder??
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 02.11.2006 | | Autor: | galileo |
Du musst noch alle Elemente durch
[mm]\det A=ad-bc[/mm]
teilen:
[mm]
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
\bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\
-\bruch{c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}
=
\bruch{1}{\det A}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 02.11.2006 | | Autor: | drPC |
hmmm - also wenn ich mir das nochmal so überlege würde ich behaupten, dass die Behauptung stimmen müsste. Denn die Bedingungen für die Existenz einer Inversen sind ja:
1. das quadtariche Format und 2. KEINE Nullzeilen
- aus der Aufgabe geht ja hervor, dass es eine 2x2(also quadratisch) und das X [mm] \not= [/mm] 0 ist (also keine Nullzeile)
- jetzt bin ich verwirrt - :-( - was meint ihr dazu??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 02.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
[mm] $X\not= [/mm] 0$ sagt nur, dass X nicht komplett 0 sein darf - also darf keine zwei Nullzeilen haben - es sagt NICHT, dass X gar keine Nullzeile haben darf.
denn [mm] $X=\pmat{1&0\\0&0}\not= \pmat{0&0\\0&0}=0$ [/mm]
und X ist nicht invertierbar.
(die letzte 0 heißt hier das neutrale Element der Addition bei den 2x2 Matrizen)
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 02.11.2006 | | Autor: | drPC |
achso !!!
ich dachte, dass eine matrix auch wenn sie nur eine einzige Nullzeile hat auch nicht invertierbar ist!!
Fazit: ich kann quadratische Matrizen mit einer einzigen(natürlich abhängig vom Format) Nullzeile invertieren!!
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häää?? jetzt habt ihr mich voll verwirrt  welche von meinen beiden behauptungen stimmt denn jetzt und welche nicht??
informacao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Do 02.11.2006 | | Autor: | drPC |
heheheh juhuuuuuuu es ist mir gelungen einen mathe studenten zu verwirren hehe
hmm also wir haben gelernt:
- keine Nullzeile und
- quadratisches Format sind diese beiden bedingungen erfüllt so gibt es eine inverse
- und ich habe von deiner aussage folgendes verstanden: auch mit einer einzigen Nullzeile existieren inversen von quadratischen matrizen -
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 02.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
anscheinend hat sich drPC nur verlesen oder sowas...
also [mm] $X=\pmat{1&0\\0&0}$ [/mm] ist eine NICHT invertierbare 2x2 Matrix.
(die nicht die Nullmatrix ist)
damit sollten alle Fragen geklärt sein, oder?
(außer der Begründung über die Determinante oder ähnlich..)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 02.11.2006 | | Autor: | drPC |
juhuuuuuu danke für die aufklärung, denn nun hab ichs verstanden - genau ich ging auch davon aus, dass diese matrix X keine inverse haben kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Do 02.11.2006 | | Autor: | galileo |
Folgende Matrizen sind schon nicht invertierbar:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & -2 \\
-3 & 3
\end{pmatrix}
[/mm] [mm]
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-3 & 6
\end{pmatrix}
[/mm]
Viele Grüße, galileo
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