Invertierbar, Spalten l.u. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 02.11.2014 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] M=\pmat{v_1 & u_1 & w_1\\ v_2 & u_2 & w_2 \\v_3 & u_3 & w_3} [/mm] mit Einträgen der reellen Zahlen.
Zeige wenn M nicht invertierbar ist folgt die Existenz von [mm] (k,\lambda,\mu) \not=(0,0,0) [/mm] mit [mm] ku+\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0 |
Hallo
Ich brauche hilfe bei dem Bsp für meine Nachhilfestudenten. Sie hatten nämlich noch nicht das Thema Rang oder Dimensionen und dürfen es dementsprechend noch nicht verwenden.
Ich hab erst versucht mit der assozierte Abbildung von der Matrix M zu arbeiten oder mittels Widerspruchbeweis (also mit der Voraussetzung [mm] ku+\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] w=0 => k=0 [mm] \wedge\lambda=0\wedge\mu=0 [/mm] folgt, dass M invertierbar ist), aber ich komme nicht auf die Aussage.
Das M nicht invertierbar ist haben sie definiert [mm] \not\exists M^{-1}:MM^{-1}=I=M^{-1}M
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 02.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sei [mm]M=\pmat{v_1 & u_1 & w_1\\ v_2 & u_2 & w_2 \\v_3 & u_3 & w_3}[/mm]
> mit Einträgen der reellen Zahlen.
> Zeige wenn M nicht invertierbar ist folgt die Existenz von
> [mm](k,\lambda,\mu) \not=(0,0,0)[/mm] mit [mm]ku+\lambda[/mm] u + [mm]\mu[/mm] w=0
> Hallo
> Ich brauche hilfe bei dem Bsp für meine
> Nachhilfestudenten. Sie hatten nämlich noch nicht das
> Thema Rang oder Dimensionen und dürfen es dementsprechend
> noch nicht verwenden.
Haben sie denn schonmal Matrizen invertiert? Und wenn ja, wie? Mit dem Ergänzen auf die Einheitsmatrix?
Dann bekämst du hier:
[mm] \pmat{v_1 & u_1 & w_1 & | & 1 & 0 & 0\\ v_2 & u_2 & w_2 & | & 0 & 1 & 0 \\v_3 & u_3 & w_3 & | & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Bringe nun den Vorderen Teil mal auf die Einheitsmatrix, dann hast du hinten die Inverse stehen. Dann wirst du irgendwo durch "Teile mit Variablen" teilen müssen, das geht natürlich nur dann, wenn diese "Teile mit Variablen" nicht Null sind.
>
> Ich hab erst versucht mit der assozierte Abbildung von der
> Matrix M zu arbeiten oder mittels Widerspruchbeweis (also
> mit der Voraussetzung [mm]ku+\lambda[/mm] u + [mm]\mu[/mm] w=0 => k=0
> [mm]\wedge\lambda=0\wedge\mu=0[/mm] folgt, dass M invertierbar ist),
Das wäre die Kontraporsition.
> aber ich komme nicht auf die Aussage.
> Das M nicht invertierbar ist haben sie definiert
> [mm]\not\exists M^{-1}:MM^{-1}=I=M^{-1}M[/mm]
Viel Interessanter finde ich erstmal zu wissen, wie die Invertierbarkeit definiert wurde. Mit
"M ist invertierbar, wenn es eine Matrix N gibt, so dass [mm] $M\cdot N=N\cdot [/mm] M = I$"?
>
> lg
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 02.11.2014 | | Autor: | quasimo |
> Hallo
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> > Sei [mm]M=\pmat{v_1 & u_1 & w_1\\ v_2 & u_2 & w_2 \\v_3 & u_3 & w_3}[/mm]
>
> > mit Einträgen der reellen Zahlen.
> > Zeige wenn M nicht invertierbar ist folgt die Existenz
> von
> > [mm](k,\lambda,\mu) \not=(0,0,0)[/mm] mit [mm]ku+\lambda[/mm] u + [mm]\mu[/mm] w=0
> > Hallo
> > Ich brauche hilfe bei dem Bsp für meine
> > Nachhilfestudenten. Sie hatten nämlich noch nicht das
> > Thema Rang oder Dimensionen und dürfen es
> dementsprechend
> > noch nicht verwenden.
>
> Haben sie denn schonmal Matrizen invertiert? Und wenn ja,
> wie? Mit dem Ergänzen auf die Einheitsmatrix?
>
> Dann bekämst du hier:
>
>
> [mm]\pmat{v_1 & u_1 & w_1 & | & 1 & 0 & 0\\ v_2 & u_2 & w_2 & | & 0 & 1 & 0 \\v_3 & u_3 & w_3 & | & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Bringe nun den Vorderen Teil mal auf die Einheitsmatrix,
> dann hast du hinten die Inverse stehen. Dann wirst du
> irgendwo durch "Teile mit Variablen" teilen müssen, das
> geht natürlich nur dann, wenn diese "Teile mit Variablen"
> nicht Null sind.
Hallo,
Ja dann weiß man, dass die Matrix M genau dann invertierbar ist wenn die [mm] Determinante\not= [/mm] 0 ist.
Aber wie bringst du das in Verhältnis mit der unabhängigkeit der Spaltenvektoren?=
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 03.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ja dann weiß man, dass die Matrix M genau dann
> invertierbar ist wenn die [mm]Determinante\not=[/mm] 0 ist.
Richtig.
> Aber wie bringst du das in Verhältnis mit der
> unabhängigkeit der Spaltenvektoren?=
[mm] $M\$ [/mm] ist genau dann invertierbar, falls die Spaltenvektoren
linear unabhängig sind (Ist das nicht klar?).
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 03.11.2014 | | Autor: | quasimo |
> Hallo,
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> > Ja dann weiß man, dass die Matrix M genau dann
> > invertierbar ist wenn die [mm]Determinante\not=[/mm] 0 ist.
>
> Richtig.
>
> > Aber wie bringst du das in Verhältnis mit der
> > unabhängigkeit der Spaltenvektoren?=
>
> [mm]M\[/mm] ist genau dann invertierbar, falls die Spaltenvektoren
> linear unabhängig sind (Ist das nicht klar?).
Genau das ist doch die Aufgabe, zu zeigen?
Ich kann da nur mittels Rank,Dimension argumentieren und das will ich gerade nicht!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 03.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Genau das ist doch die Aufgabe, zu zeigen?
> Ich kann da nur mittels Rank,Dimension argumentieren und
> das will ich gerade nicht!
Zu zeigen ist: Ist [mm] $M\$ [/mm] nicht invertierbar, dann gibt es [mm] (k,\lambda,\mu)\not=(0,0,0) [/mm] mit [mm] \ldots
[/mm]
Unter welcher Bedingung ist hier [mm] $M\$ [/mm] nicht invertierbar?
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