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| Aufgabe | Sei K [mm] \in \{\IR, \IC\} [/mm] ein Körper und seien A [mm] \in K_{nxm}, B\in K_{mxl} [/mm] Matrizen, wobei n,m,l [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Zeigen sie, dass gilt: [mm] (AB)^{\*}=B^{\*}A^{\*} [/mm] und [mm] AB^{-1}=B^{-1}A^{-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
Um [mm] AB^{-1}=B^{-1}A^{-1} [/mm] zu zeigen:
Ich habe eine Matrix A [mm] \in K_{nxm} [/mm] mit Einträgen [mm] a_{ij} [/mm] und eine Matrix [mm] B\in K_{mxl}
[/mm]
Die Multiplikation zweier Matrizen A und B ist definiert als:
[mm] (AB)_{ij}=\summe_{k=1}^{m}a_{ik}b_{bj}
[/mm]
Das bedeutet doch in Worten: Das Produkt zweier Matrizen AB mit den Einträgen „ij“ (Frage: steht „ij“ für Zeilen und Spalten?) ist die Summe von 1 bis m der Einträge ai der Matrix A und der Einträge bj der Matrix b??
Wenn ich das ganze jetzt transponiere, also:
[mm] (\summe_{k=1}^{m}a_{ik}b_{bj})^{T} [/mm] dann werden von der Matrix AB ja alle „Zeilen zu Spalten“ und „Spalten zu Zeilen“, umgangssprachlich ausgedrückt. Welche Regeln/Definitionen kann ich jetzt auf diese Summenschreibweise anwenden um zu zeigen, dass dies dasselbe ist, wie
[mm] B^{T}A^{T} [/mm] und NICHT umgekehrt? und gehe ich mit dieser Summenschreibweise überhaupt richtig vor, oder sollte ich einen anderen Weg gehen?
Wäre für eine Hilfe dankbar!
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 05.12.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Theoretix
Was ist [mm] $A^{-1}$, [/mm] wenn $A$ keine quadratische Matrix ist?
Bei quadratischen Matrizen $A$ und $B$ zeige einfach, dass [mm] $AB(B^{-1}A^{-1}=1$ [/mm] und benuetze die Tatsache, dass inverse Matrizen eindeutig sind.
Das Argument zu den Transponierten ist richtig.
[mm] $(AB)^{\ast}_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_kA_{jk}B_{ki}=\sum_kA^{\ast}_{kj}B^{\ast}_{ik}=\sum_kB^{\ast}_{ik}A^{\ast}_{ki}=(B^{\ast}A^{\ast})_{ij}$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mo 06.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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