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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 21.12.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zu jeder rationalen Zahl [mm] [(a,b)]_{\in \IQ} [/mm] ein und nur ein additives Inverses gibt. |
Guten Tag,
Die Vorbedingungen sind a und b [mm] \in \IZ
[/mm]
Beweise ich das indem ich die Gleichung der Addition in Q benutze ?
Irgendwie leuchtet mir das aber nicht ein, denn auch hier würde sich die Frage stellen was das Inverse Element von den Anderen Elementen in Q unterscheidet, schlicht gesagt ich kann das für einen speziellen Fall beweisen aber nicht allgemein.
Die Addition ist so definiert: [mm] [(a,b)]+\IQ[(c,d)] [/mm] =[(ad+cb,bd)]
Das Inverse in [mm] +\IQ [/mm] =[(-a,b)] => [mm] [(a,b)]+\IQ[(-a,b)],
[/mm]
wenn ich hier das Inverse einsetze, [(ab+-ab,bb)] =nach dem ausklammern von b [(b(a-a),bb)] das wäre dann wenn a=b und b=bb [mm] \bruch{0}{bb}=\bruch{0}{b} [/mm] =0 das wäre Invers, aber wie beweise ich, dass es nur ein Inverses gibt ?
Das muss doch über die Menge [mm] \IZ [/mm] gehen und a muss in Relation zu -a stehen allgemein gesprochen, genauso wie in Q.
Da a und b aus [mm] \IZ [/mm] sind und das Inverse von n= [(a,b)] -n= [(b,a)]
Das bedeutet dann, dass das inverse Element in Z[(b,a)] ist und davon gibt es nur eines da es nur ein a gibt,a a=a und b=b? Über die Substitution ergibt sich, dass das Inverse aus sich selbst entsteht und somit kann es nur ein Element geben, da zudem die Gruppen Axiome aus N gelten die ein Element definieren?
Ansonsten hätte ich eine Fallunterscheidung gemacht mit der ich die Elemente der Menge Q in Relation zu [(a,b)] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] und das Inverse ist [mm] \bruch{-a}{b} [/mm] und das jedes a das kleiner ist als das Inverse in von a [mm] \in\ [/mm] IZ
Allgemein gilt [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{-a}{b} [/mm] und a
is irgendwas davon richtig ?
Vielen Dank
Benni
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Hallo,
das ganze da oben ist ein solches Kauderwelsch, dass ich keinen Sinn darin sehe, zu zitieren.
Tipp 1:
Deine Voraussetzung [mm]a,b\in\IZ[/mm] lässt sich o.B.d.A. verschärfen, indem du a, b teilerfremd forderst (siehst du, welche Konsequenz das hat?).
Tipp 2:
Zum Thema Inverse Elemente lässt sich prima der Kalauer
Kennst du eines, kennst du alle
anbringen. Ob du den damit gemeinten Sachverhalt jedoch anwenden darfst, weiß ich nicht (in dem Zusammenhang: du könntest über eine sinnvollere Einordnung deiner Fragen in passende Unterforen nachdenken). Falls du das, was ich hier meine, nicht anwenden darfst:
Tipp 3:
So etwas geht man gerne mit einem Widerspruchsbeweis an. Mir ist spontan einer eingefallen, auf den du vielleicht auch selbst kommst. Dazu benötigst du aber Tipp 1.
Gruß, Diophant
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