Inverses einer 2x2 Matrix < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Teilmenge
[mm]
\begin{matrix}
M &:=&
\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
&|& a^2+b^2>0, & a,b \in \IR
\end{Bmatrix}
& \subset & Mat(2x2, \IR)
\end{matrix}
[/mm]
die Menge der Matrizen Mat(2x2, [mm] \IR) [/mm] zusammen mit der Multiplikation "*" definiert durch
[mm]
\begin{matrix}
&*:& M \times M & \to & M\\
&&
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
&,&
\begin{pmatrix}
a' & b' \\
-b' & a'
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
& \mapsto &
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
a' & b' \\
-b' & a'
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
a*a'-b*b' & a*b'+b*a' \\
-(a*b'+b*a') & a*a'-b*b'
\end{pmatrix}
\end{matrix}
[/mm]
eine abelsche Gruppe bildet. |
Ich konnte alles außer die Existenz eines Inversen zeigen. Natürlich stelle ich ein Gleichungssystem auf, aber ich kriege keine funktionierenden Werte heraus.
[mm]
\begin{pmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
c & d\\
-d & c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
\begin{matrix}
I & a*c-b*d &=& 1\\
II & a*d + b*c &=& 0\\
III & -b*c-a*d &=& 0\\
IV & -b*d+a*c &=& 1
\end{matrix}
[/mm]
Kann mir das mal bitte einer vorrechnen? Ich habe jetzt stundenlang schon Blätter vollgeschmiert (4 DIN A4-Seiten) und komme auf keine vernünftige Lösung. Wäre überaus dankbar.
LG
~W
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Hallo Wastelander,
> Zeigen Sie, dass die Teilmenge
> [mm]
\begin{matrix}
M &:=&
\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
&|& a^2+b^2>0, & a,b \in \IR
\end{Bmatrix}
& \subset & Mat(2x2, \IR)
\end{matrix}
[/mm]
>
> die Menge der Matrizen Mat(2x2, [mm]\IR)[/mm] zusammen mit der
> Multiplikation "*" definiert durch
>
> [mm]
\begin{matrix}
&*:& M \times M & \to & M\\
&&
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
&,&
\begin{pmatrix}
a' & b' \\
-b' & a'
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
& \mapsto &
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
a' & b' \\
-b' & a'
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
a*a'-b*b' & a*b'+b*a' \\
-(a*b'+b*a') & a*a'-b*b'
\end{pmatrix}
\end{matrix}
[/mm]
>
> eine abelsche Gruppe bildet.
> Ich konnte alles außer die Existenz eines Inversen zeigen.
> Natürlich stelle ich ein Gleichungssystem auf, aber ich
> kriege keine funktionierenden Werte heraus.
>
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
c & d\\
-d & c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> [mm]
\begin{matrix}
I & a*c-b*d &=& 1\\
II & a*d + b*c &=& 0\\
III & -b*c-a*d &=& 0\\
IV & -b*d+a*c &=& 1
\end{matrix}
[/mm]
>
> Kann mir das mal bitte einer vorrechnen? Ich habe jetzt
> stundenlang schon Blätter vollgeschmiert (4 DIN A4-Seiten)
> und komme auf keine vernünftige Lösung. Wäre überaus
> dankbar.
Bedingung (I) und (II) reichen aus, um c und d zu bestimmen:
(I) $ac-bd=1$
(II) $bc+ad=0$
Hier addieren wir das -b-fache der ersten Zeile auf das a-fache der zweiten Zeile und bekommen:
(I') $ac-bd=1$
(II') $a^2d+b^2d=-b$
(II') weiter umformen: [mm] $(a^2+b^2)\cdot{}d=-b [/mm] \ \ [mm] \mid :(a^2+b^2)\neq [/mm] 0$ nach Vor.
[mm] $\Rightarrow \red{d=-\frac{b}{a^2+b^2}}$
[/mm]
Das nun in (I') oder (I) einsetzen:
[mm] $ac-b\red{d}=1\Rightarrow ac=1+b\red{d}=1-\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}\Rightarrow c=\frac{a}{a^2+b^2}$
[/mm]
> LG
> ~W
Gruß
schachuzipus
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Vielen vielen Dank!
Ich hatte bereits etwas Ähnliches gehabt, aber weil mein Hirn schon ganz weichgespült war schlichen sich dann beim Einsetzen und Überprüfen Rechenfehler ein.
Tausend Dank!
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