Inverse der Wurzel < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | Sei A eine symmetrische, positiv definite Matrix. Dann gibt es eine eindeutige symmetrische, positiv definite Wurzel [mm] $A^{1/2}$ [/mm] mit [mm] $A=A^{1/2}A^{1/2}$.
[/mm]
Weiter ist die Inverse von $A$ wieder eine symmetrische, positiv definite Matrix, für die es auch eine eindeutige symmetrische, positiv definite [mm] Wurzel$A^{-1/2}$ [/mm] gibt mit [mm] $A^{-1}=A^{-1/2}A^{-1/2}$. [/mm]
Gilt [mm] $(A^{1/2})^{-1}=A^{-1/2}$? [/mm] |
Hallo.
Ich habe meine Frage als Aufgabe gepostet. Kann mir jmd. einen Tipp geben, ob obiges gilt und wie ich es ggf. beweisen kann?
Grüße und Danke im voraus.
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Überlege dir wie man die Matrix auf einfach Gestalt bringen kann und was eine Wurzel aus einer Diagonalmatrix ist.
- Trägheitssatz Sylvester
- Cholesky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] A^{-1}=A^{-1/2}A^{-1/2} [/mm] $ folgt durch Inversion
$ [mm] A=(A^{-1/2})^{-1}(A^{-1/2})^{-1} [/mm] $
Andererseits ist
$ [mm] A=A^{1/2}A^{1/2} [/mm] $.
Wegen der Eindeutigkeit hat man dann:
[mm] A^{1/2}=(A^{-1/2})^{-1}
[/mm]
Was folgt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Baumkind |
Nochmal vielen Dank für die Hilfe.
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