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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 08.02.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Inverse Laplace-Transformation
Lösen Sie das Anfangswertproblem y '' (t) - y(t) = t mit y(0) = 1 und y ' (0) = 1
mit Hilfe der Laplace-Transformation / Inversen Laplace-Transformation.
Hinweis für die Rücktransformation:
Zeigen Sie, dass die Partialbruchzerlegung [mm] \bruch{1}{x^2*(x^2-1)}= \bruch{0}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x-1} [/mm] gilt. |
Moin Moin,
zunächst bilde ich die Laplace-Transformation von
y '' (t) - y(t) = t
[mm] s^2*Y(s) [/mm] -s*y(0) -y ' (0) - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] s^2*Y(s) [/mm] -s*1 -1 - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] s^2*Y(s) [/mm] - Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm] +s + 1
[mm] (s^2-1)*Y(s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm] +s + 1
Y(s) = [mm] \bruch{\bruch{1}{s^2} +s + 1}{s^2-1}
[/mm]
Y(s) = [mm] \bruch{1}{s^2*(s^2-1)} [/mm] + [mm] \bruch{s}{s^2-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s^2-1} [/mm]
richtig?
Ich bilde hierzu die Inverse Laplace-Transformation mithilfe von Korrespondenztabellen...
[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm] = [mm] \bruch{sinh(1*t) -1*t}{1^3} [/mm] + cosh(1*t) + [mm] \bruch{sinh(1*t)}{1}
[/mm]
[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm] = sinh(t) -t +cosh(t) + sinh(t)
[mm] L^{-1}(Y(s)) [/mm] = 2*sinh(t) +cosh(t) -t
richtig?
Wie zeige ich jetzt aber, dass die Partialbruchzerlegung gilt???
Meine Idee war, dass die Funktion bei x, x+1 und x -1 bzw. für x=0 , x=-1 und x = 1 Nullstellen besitzt.
Dies könnte ich vielleicht zeigen, indem ich in die Funktion t=0, t=1 und t=-1 einsetze. Leider erhalte ich aber nur bei t=0 einen Funktionswert von 0 ???
Wie müsste ich vorgehen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 08.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Inverse Laplace-Transformation
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> Lösen Sie das Anfangswertproblem y '' (t) - y(t) = t
> mit y(0) = 1 und y ' (0) = 1
>
> mit Hilfe der Laplace-Transformation / Inversen
> Laplace-Transformation.
>
> Hinweis für die Rücktransformation:
> Zeigen Sie, dass die Partialbruchzerlegung
> [mm]\bruch{1}{x^2*(x^2-1)}= \bruch{0}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x-1}[/mm]
> gilt.
> Moin Moin,
>
> zunächst bilde ich die Laplace-Transformation von
>
> y '' (t) - y(t) = t
>
> [mm]s^2*Y(s)[/mm] -s*y(0) -y ' (0) - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> [mm]s^2*Y(s)[/mm] -s*1 -1 - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm]
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> [mm]s^2*Y(s)[/mm] - Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] +s + 1
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> [mm](s^2-1)*Y(s)[/mm] = [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] +s + 1
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> Y(s) = [mm]\bruch{\bruch{1}{s^2} +s + 1}{s^2-1}[/mm]
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> Y(s) = [mm]\bruch{1}{s^2*(s^2-1)}[/mm] + [mm]\bruch{s}{s^2-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s^2-1}[/mm]
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> richtig?
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>
> Ich bilde hierzu die Inverse Laplace-Transformation
> mithilfe von Korrespondenztabellen...
>
>
> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm] = [mm]\bruch{sinh(1*t) -1*t}{1^3}[/mm] + cosh(1*t) +
> [mm]\bruch{sinh(1*t)}{1}[/mm]
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> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm] = sinh(t) -t +cosh(t) + sinh(t)
>
> [mm]L^{-1}(Y(s))[/mm] = 2*sinh(t) +cosh(t) -t
>
> richtig?
Ja, alles bestens.
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> Wie zeige ich jetzt aber, dass die Partialbruchzerlegung
> gilt???
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> Meine Idee war, dass die Funktion bei x, x+1 und x -1 bzw.
> für x=0 , x=-1 und x = 1 Nullstellen besitzt.
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> Dies könnte ich vielleicht zeigen, indem ich in die
> Funktion t=0, t=1 und t=-1 einsetze. Leider erhalte ich
> aber nur bei t=0 einen Funktionswert von 0 ???
>
> Wie müsste ich vorgehen?
Ansatz: $ [mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}(x^2-1)}= \bruch{A}{x} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] $ +$ [mm] \bruch{C}{x+1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{D}{x-1} [/mm] $
Dann multiplizieren wir mit [mm] x^2(x^2-1) [/mm] durch und bekommen:
[mm] 1=Ax(x^2-1)+B(x^2-1)+Cx^2(x-1)+Dx^2(x+1).
[/mm]
In diese Gleichung setzt Du nacheinander x=0, x=1 und x=-1 ein. Das liefert Dir B, D und C.
Nun solltest Du A selbst bestimmen können.
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
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