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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen inverse Funktionen besitzen, und berechnen Sie ggf. diese:
f : [mm] (1,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x-1} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir bei diesem Beispiel nicht sicher, ob's dazu eine inverse Funktion gibt. Hier meine Ideen und Berechnungen:
1) Auflösen nach x: x = [mm] \bruch{-y-1}{1-y}
[/mm]
2) Vertauschen der Variablen x/y zu y = [mm] \bruch{-x-1}{1-x}
[/mm]
3) Berechnung der Geraden x/y:
[mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] = [mm] \bruch{-(\bruch{x+1}{x-1})-1}{1-\bruch{x+1}{x-1}} [/mm] = x
[mm] f(f^{-1}(y)) [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{-x-1}{1-x})+1}{\bruch{-x-1}{1-x}-1} [/mm] = y
Kann es sein, dass meine inverse Funktion falsch ist, dh falsche Berechnung? Denn laut der Inversion, die ich ausgerechnet hab, kommt das gleiche wieder raus, wie bei f(x). Wenn ich das oben angegebene Intervall beachte, dann passt's eigentlich.
Aber die x- und y-Geraden [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] und [mm] f(f^{-1}(y)) [/mm] passen nicht, ich mein, beide gehn in die gleiche Richtung, aber es soll ja sein, dass zwisch den beiden Funktionen (original und invers), die x-y-Geraden verlaufen, in meinem Fall werden die Funktionen aber geschnitten. Das macht mich stutzig. Ich hoffe, ich hab das nicht zu kompliziert formuliert.
Noch kurz eine weitere Frage: Stimmt es, wenn "ich" behauptet: Eine Inverse Funktion gibt es dann, wenn ...
1) f(x) streng monoton fallend/wachsend
2) f(x) bijektiv (dh surjektiv + injektiv) ist.
(Gibt's da sonst noch irgendwelche Punkte?)
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Braunstein,
Du hast ausgerechnet das die Inverse Funktion [mm] g(x)=\bruch{x+1}{x-1} [/mm] ist. Das ist Ok.
Denn [mm] f(g(x))=f(\bruch{x+1}{x-1})=\bruch{\bruch{x+1}{x-1}+1}{\bruch{x+1}{x-1}-1}=\bruch{2x}{2}=x
[/mm]
Also ist g(x) die Inverse von f(x)
Zu Deinen Fragen:
Noch kurz eine weitere Frage: Stimmt es, wenn "ich" behauptet: Eine Inverse Funktion gibt es dann, wenn ...
1) f(x) streng monoton fallend/wachsend
Umgekehrt ist richtig: Wenn eine Funktion streng monoton ist gibt es eine Inverse.
2) f(x) bijektiv (dh surjektiv + injektiv) ist.
Injektiv bedeutet, es gibt eine Inverse.
mfg ullim
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob folgende Funktionen inverse Funktionen besitzen, und berechnen Sie ggf. diese:
f : [mm] (1,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{x+1}{x-1} [/mm] |
Hallo Ullim,
ich glaub, dass du mich falsch verstanden hast. [mm] y=\bruch{x+1}{x-1} [/mm] ist die Funktion, nicht die Inverse. Die Inverse lautet: [mm] y=\bruch{1+x}{x-1}. [/mm] Ich wollt eigentlich wissn, ob die Proben mit [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] ... so passen bzw. die Inverse Funktion selbst stimmt.
Kann mir da jemand ev. einen Tipp geben? Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
naja, die Funktion und die Inverse sind identisch und das haben wir beide glaube ich richtig nachgerechnet.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 22.10.2006 | | Autor: | Braunstein |
Tut mir aufrichtig leid, ich hab das voll übersehen. Stimmt, du hast Recht.
Das ist mir nun ein bissal unangenehm.
Trotzdem vielen Dank für die Antwort.
Gruß, h.
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