Invarianz und Diag.barkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Do 30.04.2009 | | Autor: | Torquato |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Ferner seien f, g Homomorphismen von V nach V über K mit f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f. Zu zeigen:
(i) Ist [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von f, so ist der zugehörige Eigenraum g-invariant.
(ii) Ist V= [mm] \oplus [/mm] (von j=1 bis k) von [mm] U_j [/mm] eine Zerlegung von V in eine direkte Summe g-invarianter Untervektorräume [mm] U_j [/mm] , so ist g genau dann diagonalisierbar, wenn g eingeschränkt auf [mm] U_j [/mm] diagonalisierbar ist für alle j [mm] \in [/mm] {1, ..., k}.
(iii) Sind f und g diagonalisierbar, so besitzt V eine Basis, deren Elemente Eigenvektoren sowohl von f als auch von g sind. |
Ich versuche, mir selbständig (ohne Vorlesungsbesuch) den kanonischen LA-II-Stoff zu erarbeiten. An dieser Aufgabe verzweifele ich jetzt aber irgendwie. Ich kenne zwar die Definition von Eigenwerten, Invarianz etc., kann sie aber in dieser Aufgabe die Zusammenhänge irgendwie nicht herstellen. Für Hilfen und Lösungsvorschläge wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 30.04.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
hier mal ein Ansatz zu i):
Überlege dir, was aus folgender Gleichung für einen Eigenvektor v von f folgt:
(f [mm] \circ [/mm] g)(v) = (g [mm] \circ [/mm] f)(v) = [mm] g(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] g(v)
LG djmatey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Do 30.04.2009 | | Autor: | Torquato |
Daß, wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW von f ist, er es auch von g ist, und demenstsprechend [mm] g(V_\lambda) [/mm] wieder eine Teilmenge von [mm] V_\lambda [/mm] ist und damit g-invariant?
LG,
Torquato
|
|
|
| |
|
> Daß, wenn [mm]\lambda[/mm] ein EW von f ist, er es auch von g ist,
> und demenstsprechend [mm]g(V_\lambda)[/mm] wieder eine Teilmenge von
> [mm]V_\lambda[/mm] ist und damit g-invariant?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hallo,
Du kannst die Definition von Eigenwert und Eigenvektor von f aufsagen? Auch die von Eigenraum?
Das ist die Grundvoraussetzung.
Nein, ein Eigenwert von g ist [mm] \lambda [/mm] nicht.
Aber was kannst Du aus [mm] f(g(v))=\lambda*g(v) [/mm] ablesen? (Wenn Du setzt w:=g(v), dann siehst Du es vermutlich schnell: g(v) ist =0 oder ein Eigenvektor von f.)
In welchem Raum liegt also g(v) für sämtliche Eigenvektoren zu [mm] \lambda?
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 30.04.2009 | | Autor: | Torquato |
Ah, ja. Genau wieder in [mm] V_\lambda. [/mm] Damit ist dann gezeigt, daß [mm] V_\lambda [/mm] g-invariant ist.
Dann habe ich jetzt glaube ich Aufgabenteil a) verstanden.
Ich glaube, ich finde das ganze etwas undurchdringlich, weil vieles aus der Theorie der Eigenwerte hier bzw. im bald folgenden Satz von der Jordan-Normalform kulminiert.
Liebe Grüße,
Torquato
|
|
|
| |
|
> Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter
> K-Vektorraum. Ferner seien f, g Homomorphismen von V nach V
> über K mit f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f. Zu zeigen:
> (i) Ist [mm]\lambda \in[/mm] K ein Eigenwert von f, so ist der
> zugehörige Eigenraum g-invariant.
>
> (ii) Ist V= [mm]\oplus[/mm] (von j=1 bis k) von [mm]U_j[/mm] eine Zerlegung
> von V in eine direkte Summe g-invarianter Untervektorräume
> [mm]U_j[/mm] , so ist g genau dann diagonalisierbar, wenn g
> eingeschränkt auf [mm]U_j[/mm] diagonalisierbar ist für alle j [mm]\in[/mm]
> {1, ..., k}.
Hallo,
beachte bitte, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Sonst wissen wir doch gar nicht, wo und wie wir Dir helfen können.
Was bedeutet es, daß [mm] V=\bigoplus_{j=1}^{k}U_i [/mm] eine Zerlegung in eine direkte Summe von Unterräumen ist?
Was bedeutet es, wenn die [mm] U_i [/mm] invariant sind?
Was bedeutet es, wenn g diagonalisierbar ist, was bedeutet es, wenn g eingeschränkt auf den jeweiligen Unterraum diagonalisierbar ist?
Erst wenn diese Dinge geklärt sind, kann man sinnvoll einen Beweis versuchen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
