Invarianz d. Lebesgue-Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:24 Di 24.01.2006 | | Autor: | phrygian |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Sei [mm] M\subset\IR^n [/mm] eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse [mm] C^\alpha. [/mm] Die Diffeomorphismen [mm] \tau_a,\rho [/mm] bzw. [mm] \theta_r [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] (Translation, Rotation bzw. Streckung oder Stauchung) seien definiert durch:
[mm]\tau_a(x) := a+x[/mm] [mm](a\in\IR^n)[/mm],
[mm]\rho(x) := Qx[/mm] [mm](Q\in O(n))[/mm],
[mm]\theta_r(x) := rx[/mm] [mm](r\in\IR_{>0})[/mm].
Dann gilt:
[mm]f\in L^1(M,\IR) \gdw f\circ\tau_a^{-1} \in L^1(\tau_a(M),\IR) \gdw f\circ\rho^{-1} \in L^1(\rho(M),\IR) \gdw f\circ\theta_r^{-1} \in L^1(\theta_r(M),\IR)[/mm].
In diesem Fall ist
[mm]\integral_{\tau_a(M)} {f\circ\tau_a^{-1}}=\integral_{M} {f}[/mm], [mm]\integral_{\rho(M)} {f\circ\rho^{-1}}=\integral_{M} {f}[/mm], [mm]\integral_{\theta_r(M)} {f\circ\theta_r^{-1}}=r^n \integral_{M} {f}[/mm]. |
Hallo
mir ist nicht ganz klar, was man alles beweisen muss:
nur die letzten drei Gleichungen oder auch die Äquivalenzen?
Ausserdem habe ich keine Ahnung, wie ich die Aussagen beweisen soll!
Danke für eure Hilfe!
Gruss
phrygian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Di 24.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo phrygian!
Es ist zehn Jahre her, dass ich mich zuletzt mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt habe, daher sind meine Aussagen hier mit Vorsicht zu genießen und ich setze mal die Frage auf "teilweise beantwortet".
Zunächst musst du dir klarmachen, dass die Bilder der Mannigfaltigkeiten unter den gegebenen Diffeomorphismen wieder Mannigfaltigkeiten sind. Wie sehen die neuen Karten aus?
Dann solltest du die zu zeigenden Transformationsformeln mittels Zerlegungen der Eins und der Karten auf die gewöhnliche Transformationsformel im [mm] $\IR^k$ [/mm] bezüglich des Lebesgue-Maßes zurückführen.
So oder so ähnlich sollte es wohl gehen...
Liebe Grüße
Julius
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