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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Invariantenteiler von
[mm] $A:=\pmat{ -2 & 7 & 2 \\ 5 & -20 & -6 \\ -3 & 12 & 4 }\in\mathbbm{Z}^{3\times 3}$
[/mm]
[mm] $B:=\pmat{ 1+3X^2+2X^3 & X^2&2X+2X^2&X^2+X^3 \\ X & X&-X+X^3&0\\X+3X^3+2X^4&X^3&X+3X^2+2X^3&X^3+X^4\\-X+2X^2+2X^3&-X&X-X^3&X^2+X^3 }\in\mathbbm{Q}[X]^{4\times 4}$ [/mm] |
N'abend zusammen,
Wollte nur mal kurz checken lassen, ob meine Überlegungen richtig sind. ;)
[mm] $\pmat{ -2 & 7 & 2 \\ 5 & -20 & -6 \\ -3 & 12 & 4 }\xrightarrow{(1)}\pmat{ -2 & 7 & 2 \\ 1 & -6 & -2 \\ -3 & 12 & 4 }\xrightarrow{(2)}\pmat{ 1 & -6 & -2 \\-2 & 7 & 2 \\ -3 & 12 & 4 }\xrightarrow{(3)}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\0 & -5 & -2 \\ 0 & -6 & -2}$
[/mm]
(1): Hier teilt die -2 die 5 nicht, also subtrahiere ich das (-2)-fache der 1. Zeile von der 2. Zeile.
(2): 1. und 2. Zeile tauschen.
(3): Ausgeräumt.
[mm] \pmat{ -5 & -2 \\ -6 & -2 }\xrightarrow{(4)}\pmat{ -5 & -2 \\ -1 & 0 }\xrightarrow{(5)}\pmat{ -1 & 0 \\ -5 & -2 }\xrightarrow{(6)}\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
(4): -5 teilt nicht -6, also 1-fache der 1. Zeile von der 2. abgezogen.
(5): Zeilen tauschen.
(6): Ausgeräumt.
Also sind die Invariantenteiler 1, -1 und -2.
Dann
[mm] $B:=\pmat{ 1+3X^2+2X^3 & X^2&2X+2X^2&X^2+X^3 \\ X & X&-X+X^3&0\\X+3X^3+2X^4&X^3&X+3X^2+2X^3&X^3+X^4\\-X+2X^2+2X^3&-X&X-X^3&X^2+X^3 }\xrightarrow{(7)}\pmat{X & X&-X+X^3&0\\ 1+3X^2+2X^3 & X^2&2X+2X^2&X^2+X^3\\X+3X^3+2X^4&X^3&X+3X^2+2X^3&X^3+X^4\\-X+2X^2+2X^3&-X&X-X^3&X^2+X^3 }$
[/mm]
(7): Ich muss doch nicht zwangsweise die 1. und 2. Spalte tauschen, wenn ich die 1. und die 2. Zeile getauscht habe, oder? Würd' jetzt nur die 1. und die 2. Zeile tauschen, da $X$ ja bzgl. der entsprechenden Norm minimal ist.
Jetzt meine Frage: Wenn die Einträge [mm] $a_{21}$ [/mm] und [mm] $a_{31}$ [/mm] vertauscht wären, könnte ich doch einfach die 2. und die 3. Zeile tauschen, oder? Nur, dass ich das sicher weiß. ;)
Vielen Dank,
Stefan.
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Kann mir jemand bitte helfen? =)
Danke!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 So 27.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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