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Forum "Algebraische Geometrie" - Invariante Differential

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Invariante Differential: Reihenentwicklung des InvDiffs

Status:	(Frage) überfällig
Datum:	19:14 Mi 29.03.2017
Autor:	DerPanda

Hallo Leute,
ich hätte ein paar Fragen zum Vorgehen des Autors bei der Reihenentwicklung des invarianten Differentials im Buch „Arithmetic of Elliptic Curves“ von Silverman (direkter Link unten). Auf Seite 118 (Chap. IV) wird gesagt, dass das invariante Differential

\omega(z) = \frac{dx(z)}{2y(z) + a_1 x(z) +a_3}

die Reihendarstellung

(1 + a_1z + ({a_1}^2
+ a_2)z^2 + ({a_1}^3
+ 2a_1a_2 + 2a_3)z^3
+ ...) dz

besitze, was mir nicht ganz ersichtlich erscheint. Wie kürzt sich sukzessiv der Nenner

2y +a_1x +a_3

? Das Setting wird ab S. 115 erläutert : Weierstrass-Glg. wird um O untersucht, dabei führt man einen Variablenwechsel (x,y) -> (z,w) durch mit

z = \frac{-x}{y}

w = \frac{-1}{y}

und zeigt, dass w sich als formelle Reihe in Abh. von z darstellen lässt. Mir ist auch klar, wie die Formeln oberhalb für x(z) und y(z) zustande kommen (Ws-Glg. w = f(z,w) durch

z^2 w

teilen und nach z/w auflösen) .
Zweite Frage: Anschließend wird gezeigt, dass w(z) Koeffizienten aus

\IZ[a_1,..., a_6]

besitzt indem man behauptet, dass w(z) sowohl Koeffizieten in

\IZ[\frac{1}{2},a_1,..., a_6][[z]]

, als auch

\IZ[\frac{1}{3},a_1,..., a_6][[z]]

besitze, indem man ausnutzt, dass

\omega(z)/dz

zwei Darstellungen besitzt:

\omega(z)/dz = \frac{dx(z) / dz}{2y + a_1 x +a_3} = \frac{-2z^{-3} ...}{-2z^{-3} ...} \in \IZ[\frac{1}{2},a_1,..., a_6][[z]]

als auch

\omega(z)/dz = \frac{dx(z) / dz}{3x^2 + 2a_2 x +a_4 -a_1y} = \frac{-3z^{-4} ...}{-3z^{-4} ...} \in \IZ[\frac{1}{3},a_1,..., a_6][[z]]

und die jeweiligen ersten Summanden im Zähler und Nenner von bzw betrachtet. Zunächst: wieso ist

\omega(z)/dz

\IZ[\frac{1}{2},a_1,..., a_6][[z]]

bzw.

\IZ[\frac{1}{2},a_1,..., a_6][[z]]

enthalten? Und woher folgt gemäß Buch, dass der Nenner von eine 2er Potenz ist (bzw. dy eine 3er Potenz) ist?
Hier ein Link zur Quelle:

Arithmetic of Elliptic Curves

Gruß
DerPanda

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=227268&start=0&lps=1657162#v1657162]

Bezug

Invariante Differential: Fälligkeit abgelaufen

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:20 Fr 31.03.2017
Autor:	matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)