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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 23.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hallo zusammen
wie aus dem Thema oben deutlich wird handelt es sich um Intrapolation. Wir haben letzte Stunde ein Trassierungsproblem durchgefürt. Das ist was wir erarbeitet haben.
Zunächst einmal ein Graph damit das Problem klar wird
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Ein stück liegt auf der x-Achse das andere da im Raum wie eingezeichnet(Koordinaten sind (5|2). Nun sollen die beiden Stück verbunden werden was für Möglichkeiten hat man da? Wir haben bisher 2 erarbeitet und zwar folgende
1) Ansatz einer linearen Verbindung
g(x)= m*x+b= [mm] \bruch{2}{5}x
[/mm]
Somit gibt es keine Löcher in der Verbindung, d.h. die Bedingung der Stetigkeit ist erfüllt. Problem es gibt eine Abrupte Steigungsänderung.
2) Ansatz einer knickfreien Verbindung
(Differenzierbarkeit)
An den Anschlussstellen müssen sowohl die Funktionswerte als auch die Werte der Ableitung der Funktionen übereinstimmen
i) f(0)=0 ii) f´(0)=0
iii) f(5)=2 iiii) f´(5)=0
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4 Bedingungen 4 Parameter
f(x)= ax³+bx²+cx+d* [mm] x^{0}
[/mm]
Ansatz einer Polynomfunktion 3. Grades
i) f(0)=a0³+b0²+c*0+d=0 darauf folgt d=0
ii) f´(x)= 3a0²+2b*0+c =0 daraus folgt c=0
iii) f(5) = a*125+b*25+c*5+d=2
iiii) f´(5)= 3a*25+10b+c = 0
Vereinfachung
iii) 125a+25b=2 |*2
iiii) 75a+10b=0 |*5
250a+50b=4
375a+50b=0
Zieht man jetzt die untere Gleichung von der oberen ab, erhält man
-125a=4
daraus folgt a=- [mm] \bruch{4}{125}
[/mm]
setzt man a nun ind die 125a+25b=2 Gleichung ein, kommt folgendes heraus
-4+25b=2
B= [mm] \bruch{6}{25}
[/mm]
Somit ergibt sich
- [mm] \bruch{4}{125}x³+6 \bruch{6}{25}x²
[/mm]
Jetzt sind wir zu folgender Ansicht gekommen.
In den Anschlusspunkten muss die Krümmung gleich sein, wenn man nicht abrupt umlenken muss
Die Krümmung wir durch die 2. Ableitung beschrieben
d.h. f´´(0)=0
f´´(5)= 0
ok das haben wir im Unterricht gemacht.
Nun sollen wir einen neuen Ansatz für f(x) mit i-iiii formulieren. Wer kann mir sagen was es da noch für Ansätze gibt? Ich habe wie mein Name schon sagt keine Ahnung
gruß tobbe
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Hallo, Tobias
ganz verstehe ich's nicht wies gemeint ist
aber
man könnte natürlich auch [mm] $x^4 [/mm] + [mm] a*x^3 [/mm] + [mm] b*x^2 [/mm] + c*x + d$
ansetzen
oder ganz ohne Diff.rechnung 2 Kreisbögen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 23.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Tobias
ich denke, da nun 2 weitere Bedingungen dazugekommen sind, kann man mit dem Polynom auch um 2 Grade höher gehen.
Setze also:
[mm] $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
[/mm]
Dann wird
[mm] $f'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$
[/mm]
[mm] $f''(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d$
[/mm]
$f(0)=f'(0)=f''(0)=0_$ führt sofort zu f=0, e=0 und d=0.
Damit erhältst du schon mal:
[mm] $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3$
[/mm]
[mm] $f'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2$
[/mm]
[mm] $f''(x)=20ax^3+12bx^2+6cx$
[/mm]
Mit $f(5)=2_$, $f'(5)=0_$ und $f''(5)=0$ bekommst du ein Gleichungssystem, das du nach a, b und c auflösen kannst.
mit lieben Grüssen
Paul
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