Intervallschachtelung zeigen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 14.11.2006 | | Autor: | Planlos |
| Aufgabe | Sei 0<a<b. Man definiere induktiv [mm] a_{1}:= [/mm] a, [mm] b_{1}:= [/mm] b sowie [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] H(a_{n},b_{n}), b_{n+1}:= A(a_{n},b_{n}) [/mm] dabei ist H bzw. A das harmonische bzw. arithmetische Mittel.
Man zeige: [mm] [a_{n},b_{n}] [/mm] liefert eine Intervallschachtelung um G(a,b) = [mm] \wurzel{a\cdot b} [/mm] (G geometrisches Mittel). |
Ich verstehe bei dieser Aufgabe so gut wie gar nichts, außer dass man sich am Anfang wohl das Intervall [a,b] anschaut. Wie aber soll mich das zur Intervallschachtelung führen??
Es wäre klasse, wenn ihr mir ein paar Denkanstöße geben könntet.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 14.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Planlos,
genau, du startest mit [mm] [a_1;b_1] [/mm] und [mm] a_1=a [/mm] und [mm] b_1=b.
[/mm]
Als nächstes nimmst du [mm] [a_2;b_2] [/mm] mit [mm] a_2=[/mm] ![[]](/images/popup.gif) harmonisches Mittel von [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] , d.h.
[mm] a_2=\bruch{2}{\bruch{1}{a_1}+\bruch{1}{b_1}}
[/mm]
und [mm] b_2= [/mm] arithmetisches Mittel, d.h. [mm] b_2=\bruch{a_1+b_1}{2}
[/mm]
als nächstes nimmst du [mm] [a_3;b_3] [/mm] mit [mm] a_3 [/mm] wieder dem harm. Mittel, diesmal von [mm] a_2 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] , also [mm] a_3=\bruch{2}{\bruch{1}{a_2}+\bruch{1}{b_2}} [/mm] und so weiter.
Zeigen sollst du, dass sich die Intervallgrenzen von beiden Seiten immer mehr dem geometrischen Mittel [mm] (=\wurzel{a*b}) [/mm] von a und b nähern. Die Grenzen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] sind ja zwei Zahlenfolgen, die womöglich beide [mm] \wurzel{a*b} [/mm] als Grenzwert haben, aber ich habs jetzt nicht weiter verfolgt, ist nur so ne Idee. Du müsstest wohl zeigen, dass die rechte Intervallgrenze immer kleiner wird, aber nie kleiner als [mm] (\wurzel{a*b}), [/mm] also quasi dagegen konvergiert (monoton und beschränkt, ich hoffe da klingelts bei dir  ). Analog mit der linken Grenze.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
L G walde
|
|
|
|
