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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Di 11.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo zusammen,
Im Buch "Analysis I" von Wolfgang Walter werden die Intervalle
[a,b):= [mm] \{x \in \IR: a \le x < b \}
[/mm]
(a,b]:= [mm] \{x \in \IR: a < x \le b \}
[/mm]
als "(nach rechts) halboffene Intervalle" bzw. als "(nach links) halboffene Intervalle" bezeichnet.
Anschliessend kommt folgende Textstelle:
___
In derselben Weise wird [mm] \pm [/mm] "liegende Acht" zur Bezeichnung unbeschränkter Intervalle benutzt. Für a [mm] \in [/mm] b heissen die Mengen
(-"liegende Acht", a]:= [mm] \{x \in \IR: x \le a \}
[/mm]
[a, "liegende Acht"):= [mm] \{x \in \IR: x \ge a \}
[/mm]
abgeschlossene Intervalle...
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Warum werden die beiden zuletzt erwähnten Intervalle nicht auch als "halboffen" bezeichnet? Sie haben ja links bzw. rechts keine Begrenzung.
Im weiteren Verlauf des Textes steht zudem noch folgender Satz: "Die Nullmenge ist offen und abgeschlossen".
Wie muss man sich eine sowie offene als auch geschlossene Menge vorstellen und warum gehört die leere Menge dazu?
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruss
Gilles
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> Anschliessend kommt folgende Textstelle:
> ___
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> In derselben Weise wird [mm]\pm[/mm] "liegende Acht" zur
> Bezeichnung unbeschränkter Intervalle benutzt. Für a [mm]\in[/mm] b
> heissen die Mengen
>
> (-"liegende Acht", a]:= [mm]\{x \in \IR: x \le a \}[/mm]
> [a,
> "liegende Acht"):= [mm]\{x \in \IR: x \ge a \}[/mm]
>
> abgeschlossene Intervalle...
Hallo Gilles,
schau Dir mal die Definition für offene Mengen an.
Eine Menge heißt offen, wenn man zu jedem ihrer Punkte eine Umgebung findet, die ganz in der Menge liegt.
Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Weil (a, [mm] \infty) [/mm] offen ist, ist [mm] \IR \(a, \infty)=(- \infty,a] [/mm] abgeschlossen.
> Im weiteren Verlauf des Textes steht zudem noch folgender
> Satz: "Die Nullmenge ist offen und abgeschlossen".
> Wie muss man sich eine sowie offene als auch geschlossene
> Menge vorstellen und warum gehört die leere Menge dazu?
Die leere Menge enthält kein Element. Deshalb ist die Aussage "Zu jedem Element findet man eine Umgebung, die ganz in der leeren Menge liegt" richtig. Also ist die leere Menge offen. ==> Ihr Komplement [mm] \IR [/mm] ist abgeschlossen.
[mm] \IR [/mm] offen (Umgebungen.)==> [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IR [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ist abgeschlossen.
So kommt das, daß die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Sind eben keine Türen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 11.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Vielen Dank. Ich weiss nun, wieso die Intervalle
(-"liegende Acht", a]:= [mm] \{x \in \IR: x \le a \}
[/mm]
[a, "liegende Acht"):= {x [mm] \in \IR: [/mm] x [mm] \ge [/mm] a [mm] \}
[/mm]
als "abgeschlossen" bezeichnet werden. Probleme bereitet mir aber noch die Leere Menge. Für mich macht die Aussage "Zu jedem Element findet man eine Umgebung, die ganz in der leeren Menge liegt" einfach keinen Sinn. Wie muss ich diesen Satz verstehen, damit ich sehen kann, dass er richtig ist?
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> "Zu jedem Element findet man eine Umgebung, die ganz in der
> leeren Menge liegt" einfach keinen Sinn. Wie muss ich
> diesen Satz verstehen, damit ich sehen kann, dass er
> richtig ist?
Wieso sollte die Aussage keinen Sinn machen? Stört dich, das überhaupt keine Element in der leeren Menge sind? Dann betrachte die Aussage als Spiel: "für alle" bedeutet hier: wann immer du mir ein Element aus der Meneg vor legst, kann ich dir eine Umgebung geben, die ganz in der Menge enthalten ist. Wenn ich das für eine nicht machen kann, hast du gewonen, und die Menge ist nicht offen. Ansosnten ist sie es. Bei der leeren Menge gewinne ich - du kannst mir kein Element vorlegen. Also kann ich nie falsch liegen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 11.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo,
Die Aussage ist also richtig, weil ich kein Gegenbeispiel geben kann, wie auch jede andere Aussage richtig ist, solange kein Gegenbeispiel gefunden wird, oder? In diesem Fall habe ich es verstanden.
Herzlichen Dank.
Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Gilles!
Das ist das "Ex falso quodlibet"-Prinzip: Aus einem beliebigen Widerspruch kann ich alles folgern.
Hier also in einem metrischen Raum
$x [mm] \in \emptyset \quad \Rightarrow \quad \exists \, \varepsilon>0\, [/mm] : [mm] \, B_{\varepsilon}(x) \subseteq \emptyset$,
[/mm]
d.h. [mm] $\emptyset$ [/mm] ist offen.
Für beliebige topologische Räume wird die Eigenschaft, dass [mm] $\emptyset$ [/mm] offen sein, also zur Topologie gehören soll, in die Definition eines topologischen Raumes mit aufgenommen; es ist dort also keine Folgerung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Im weiteren Verlauf des Textes steht zudem noch folgender
> Satz: "Die Nullmenge ist offen und abgeschlossen".
> Wie muss man sich eine sowie offene als auch geschlossene
> Menge vorstellen und warum gehört die leere Menge dazu?
Nullmengen haben eigentlich was mit Maßen bzw. Inhalten zu tun. Und diese Aussage ist in diesem Kontext einfach falsch. Ich glaube, da steht eher leere Menge. Kann das sein?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 11.10.2005 | | Autor: | gilles |
Hallo SEcki,
An der Stelle, wo ich den Satz gefunden habe, steht "Nullmenge". Der Text geht dort folgendermassen:
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Die Menge M heisst offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht, sie heisst abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm] \IR \setminus [/mm] M offen ist. Die Nullmenge ist offen und abgeschlossen. Der Leser möge sich davon überzeugen, dass die oben eingeführten offenen und abgeschlossenen Intervalle offene bzw. geschlossene Mengen in dem hier definierten Sinn sind...
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Gruss
Gilles
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Menge M heisst offen, wenn sie nur aus inneren Punkten
> besteht, sie heisst abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm]\IR \setminus[/mm]
> M offen ist. Die Nullmenge ist offen und abgeschlossen. Der
> Leser möge sich davon überzeugen, dass die oben
> eingeführten offenen und abgeschlossenen Intervalle offene
> bzw. geschlossene Mengen in dem hier definierten Sinn
> sind...
Wenn das da so steht, dann ist das sehr unglücklich - das verwednet man sonst nicht so. Gewöhn dir das blos nicht an! Vergleiche mal, was du bei Wikipedia für beide Begriffe findest.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Di 11.10.2005 | | Autor: | gilles |
Ok
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