Interpolationspolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 15.01.2005 | | Autor: | spocky |
Hallo zusammen ...
Hab eine kleine Frage zu meine LA Übung. Folgende Aufgabenstellung:
Seien [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} \in [/mm] R paarweise verschieden und [mm] y_{1}, [/mm] ..., [mm] y_{n} \in [/mm] R beliebig. Zeigen Sie, dass eindeutig bestimmte [mm] a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{n-1} \in [/mm] R existieren mit der Eigenschaft, dass die Funktion
f: R -> R, x -> [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] x + ... + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm]
die Bedingung [mm] f(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] (i = 1,...,n) erfüllt.
(Man nennt f das Interpolationspolynom zu den Stützstellen [mm] x_{1},..., x_{n})
[/mm]
Hab echt keinen Plan...
Vielleicht kann ja einer helfen.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo spocky
wenn dir da gar kein ansatz gegeben ist das unter umständen etwas schwierig.
eine möglichkeit ist ein inhomogenes lineares gleichungssystem aufzustellen indem du die [mm] $x_i$ [/mm] in das polynom einsetzet und forderst, dass du den gegebenen funktionswert [mm] $y_i$ [/mm] erhälst. dabei erhälst du folgendes gelichungssystem:
[m] \left( \begin{array}{cccccc} 1 & x_1 & x_1^2 & \hdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \hdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\
\\
\vdots & & & \ddots & & \vdots \\
\\
1 & x_n & x_n^2 & \hdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{array}\right)
\left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ \\ \vdots \\ \\ a_{n-1} \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \\ \vdots \\ \\ y_n \end{array} \right) [/m]
das entscheidende ist nun, dass du zeigen kannst das die matrix vollen rang hat, denn genau dann hat dieses lineare gleichungssystem eine eindeutige lösung [m] \left( \begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & & \hdots & & a_{n-1} \end{array} \right)^T [/m] die du suchst. darauf würde ich tippen, wenn ihr gerade determinanten behandelt. stichwort: vandermond determinante.
wenn ihr sowas noch nicht gemacht habt wäre es hilfreich zuerst zu zeigen, dass es polynome [mm] $Q_i$ [/mm] mit grad höchstens $n-1$ gibt, so dass
[m] Q_i(x_k) = \begin{cases} 1 & \textrm{ falls } i = k \\ 0 & \textrm{ sonst } \end{cases} [/m]
also polynome die nur in einem der gegebenen punkte eins sind sonst überall null. wie kriegt man solche [mm] $Q_i$, [/mm] wenn man ihre nullstellen kennt? stichwort: linearfaktor-zerlegung.
schau mal ob du damit weiterkommst. wenn du noch fragen hast - z.b. wie es im zweiten fall weitergeht - kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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