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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Sa 14.08.2010 | | Autor: | Iceman7 |
| Aufgabe | | Zur Funktion [mm] y=e^x [/mm] soll ein interpolationspolynom P2(x) vom Grad n=2 konstruiert werden, dass durch die Punkte x0=1, x1=1,5, x2=2,5 geht. |
Also der Ansatz sieht ja so aus Pn(x)= [mm] \summe_{k=0}^{n} L_{k}(x)
[/mm]
und [mm] L_{k}(x)= [/mm] f [mm] (x_{k}) \produkt_{i=0, i <> k}^{n} (x-x_{i})/ (x_{k}-x_{i})
[/mm]
da n=2 ist gibt es 3L
[mm] L_{0}(X)= [/mm] f(x0) [mm] (x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1}) [/mm] * [mm] (x-x_{2})/(x_{0}-x_{2})
[/mm]
[mm] L_{1}(X)= [/mm] f(x1) [mm] (x-x_{0})/ (x_{1}-x_{0}) [/mm] * [mm] (x-x_{2})/(x_{1}-x_{2})
[/mm]
[mm] L_{2}(X)= [/mm] f(x2) [mm] (x-x_{1})/ (x_{2}-x_{0}) [/mm] * [mm] (x-x_{1})/(x_{2}-x_{1})
[/mm]
Meine Frage ist jetzt wie ich das weiterrechnen soll? Wir haben es nur am Rande erwähnt und bei genauer Betrachtung von mir ist mir aufgefallen dass ich das absolut nciht lösen kann.
Ich meine x1,2,3 habe ich ja aber was ist nur x? und iwe kann ich das zusammenfassen: f(x0) [mm] (x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1}) [/mm] * [mm] (x-x_{2})/(x_{0}-x_{2}) [/mm] ?????
Bitte um Hilfe :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 14.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine frage nach x versteh ich nicht.
Warum setzt du die gegebenen Zahlen nicht einfach ein und rechnest die 3 L(x) aus, danach addieren.
solange das so allgemein da steht sieht es kompliziert aus.
etwa f(x0) $ [mm] (x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{2})/(x_{0}-x_{2}) [/mm] $
dabei sind doch f(x0), [mm] (x_{0}-x_{1}), (x_{0}-x_{2})
[/mm]
Zahlen, also steht da [mm] Zahl*(x-x_1)*(x-x_2) [/mm] und das kannst du doch ausmultiplizieren?
in Zukunft: immer erst alles einsetzen, was du hast, Zahlen zusammenrechnen, wenns dann noch unklar ist fragen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 15.08.2010 | | Autor: | Iceman7 |
Also wäre das dann so?
$ [mm] L_{0}(X)= [/mm] $ f(x0) $ [mm] (x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{2})/(x_{0}-x_{2}) [/mm] $ = [mm] e^1*(1-1,5)/1-1,5)*(1-2,5)/(1-2,5)= e^1
[/mm]
$ [mm] L_{1}(X)= [/mm] $ f(x1) $ [mm] (x-x_{0})/ (x_{1}-x_{0}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{2})/(x_{1}-x_{2}) [/mm] $ = [mm] e^1,5 [/mm] *(1,5-1)/(1,5-1)*(1,5-2,5)/(1,5-2,5) = [mm] e^1,5
[/mm]
$ [mm] L_{2}(X)= [/mm] $ f(x2) $ [mm] (x-x_{1})/ (x_{2}-x_{0}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{1})/(x_{2}-x_{1}) [/mm] $ = [mm] e^2,5 [/mm] *(2,5-1)/(2,5-1)*(2,5-1)/(2,5-1) = [mm] e^2,5
[/mm]
Daraus folgt [mm] P_{2} [/mm] (x)= [mm] e^1+e^1,5+e^2,5
[/mm]
aber das ist doch kein polynom? sondern nur eine reelle Zahl.
Stimmt das denn soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also wäre das dann so?
>
> [mm]L_{0}(X)=[/mm] f(x0) [mm](x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1})[/mm] *
> [mm](x-x_{2})/(x_{0}-x_{2})[/mm] =
> [mm]e^1*(1-1,5)/1-1,5)*(1-2,5)/(1-2,5)= e^1[/mm]
>
> [mm]L_{1}(X)=[/mm] f(x1) [mm](x-x_{0})/ (x_{1}-x_{0})[/mm] *
> [mm](x-x_{2})/(x_{1}-x_{2})[/mm] = [mm]e^1,5[/mm]
> *(1,5-1)/(1,5-1)*(1,5-2,5)/(1,5-2,5) = [mm]e^1,5[/mm]
>
>
> [mm]L_{2}(X)=[/mm] f(x2) [mm](x-x_{1})/ (x_{2}-x_{0})[/mm] *
> [mm](x-x_{1})/(x_{2}-x_{1})[/mm] = [mm]e^2,5[/mm]
> *(2,5-1)/(2,5-1)*(2,5-1)/(2,5-1) = [mm]e^2,5[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]P_{2}[/mm] (x)= [mm]e^1+e^1,5+e^2,5[/mm]
>
> aber das ist doch kein polynom? sondern nur eine reelle
> Zahl.
> Stimmt das denn soweit?
Nein. Warum setzt Du in [mm] L_0, L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] für die Variable x jeweils Zahlen ein ???????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 15.08.2010 | | Autor: | Iceman7 |
Entschluldigung weil der über dir gesagt hat ich solle einfach die zahlen einsetzen und ich dachte das wäre richtig
also lautet es denn so?
$ [mm] L_{0}(X)= [/mm] $ f(x0) $ [mm] (x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{2})/(x_{0}-x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] e^1\cdot{}(x-1,5)/1-1,5)\cdot{}(x-2,5)/(1-2,5)= e^1 [/mm] * (x-1,5)/(-0,5)
$ [mm] L_{1}(X)= [/mm] $ f(x1) $ [mm] (x-x_{0})/ (x_{1}-x_{0}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{2})/(x_{1}-x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] e^1,5 [/mm] $ *(x-1)/(1,5-1)*(x-2,5)/(1,5-2,5) = e^(1,5) * (x-1)/2
$ [mm] L_{2}(X)= [/mm] $ f(x2) $ [mm] (x-x_{1})/ (x_{2}-x_{0}) [/mm] $ * $ [mm] (x-x_{1})/(x_{2}-x_{1}) [/mm] $ = $ [mm] e^2,5 [/mm] $ *(x-1)/(2,5-1)*(x-1)/(2,5-1) = e^(2,5)*(x-1)/(1,5)
Daraus folgt [mm] P_{2} [/mm] (x) = [mm] e^1 [/mm] * (x-1,5)/(-0,5)+e^(1,5) * (x-1)/2+e^(2,5)*(x-1)/(1,5) ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 15.08.2010 | | Autor: | Iceman7 |
ALSO um das übersichtlicher zu machen habe ich hier mal die terme aufgelöst
L0= [mm] (x^{2}-2x+1)*e/1,5
[/mm]
[mm] L1=(x^{2}-4x+3,75)*e^{1,5}/0,75
[/mm]
[mm] L2=(x^{2}-4x+3,75)*e^{2,5}/1,5
[/mm]
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 15.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab andere Ergebnisse
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 So 15.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast den post von mir zu ungenau gelesen!
> Entschluldigung weil der über dir gesagt hat ich solle
> einfach die zahlen einsetzen und ich dachte das wäre
> richtig
>
> also lautet es denn so?
> $ [mm]L_{0}(X)=[/mm] $ f(x0) $ [mm](x-x_{1})/ (x_{0}-x_{1})[/mm] $ * $
> [mm](x-x_{2})/(x_{0}-x_{2})[/mm] $ = $
> [mm]e^1\cdot{}(x-1,5)/1-1,5)\cdot{}(x-2,5)/(1-2,5)= $
bis hier richtig, danach lässt du die Hälfte weg!
richtig ist
$e*(x-1.5)*(x-2.5)/(-0.5+(-1.5))=e*4/3*(x-1.5)*(x-2.5)$
jetzt noch die Klammer ausmultiplizieren.
>$e^1[/mm] *
> (x-1,5)/(-0,5)
>
> [mm]L_{1}(X)=[/mm] f(x1) [mm](x-x_{0})/ (x_{1}-x_{0})[/mm] *
> [mm](x-x_{2})/(x_{1}-x_{2})[/mm] = [mm]e^1,5[/mm]
> *(x-1)/(1,5-1)*(x-2,5)/(1,5-2,5) = e^(1,5) * (x-1)/2
auch hier lässt du wieder den zweiten Teil weg? warum?
Also machs richtig! bei jedem L alle Zahlen zusammenfassen und die Klammern ausmultiplizieren. dann sollte das was stehen wie:
[mm] L=a*x^2+bx+c
[/mm]
dann die 3 L aufaddieren und du bekommst ein Polynom 2 ten Grades (eine Parabel)
Gruss leduart
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