Interpolationsfehler schätzen < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 12.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das Polynom [mm] p_2\in \Pi_2 [/mm] interpoliere [mm] f(x)=\wurzel(x) [/mm] in den Knoten 1,2,3. Geben Sie eine Abschätzung für den Interpolationsfehler im Intervall [1,3].
Ich würde gerne wissen, ob meine Lösung stimmt. |
Für meine Idee habe ich folgenden Abschnitt aus der Vorlesung verwendet:
"Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung [mm] |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)|, [/mm] wobei [mm] L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n).
[/mm]
Wegen [mm] |x-x_i|\leq [/mm] b-a folgt sofort:
[mm] |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\bruch{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}."
[/mm]
Und daher habe ich für die Aufgabe direkt die letztere Abschätzung benutzt:
Es gilt [mm] f^{(2+1)}(x)=\bruch{3}{8x^{\frac{5}{2}}} [/mm] und damit dann weiter gerechnet:
[mm] |f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\bruch{1}{16y^{\bruch{5}{2}}}}_{=\bruch{f^{(3)}}{3!}}|*\bruch{4}{3}=\bruch{1}{12}, [/mm] nämlich wird das Maximum erreicht für y=1, da der Zähler dann am kleinsten ist, d.h., anders gesagt, dass [mm] y^{\bruch{5}{2}} [/mm] minimal für y=1 ist.
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Hallo dennis2,
> Das Polynom [mm]p_2\in \Pi_2[/mm] interpoliere [mm]f(x)=\wurzel(x)[/mm] in
> den Knoten 1,2,3. Geben Sie eine Abschätzung für den
> Interpolationsfehler im Intervall [1,3].
>
> Ich würde gerne wissen, ob meine Lösung stimmt.
> Für meine Idee habe ich folgenden Abschnitt aus der
> Vorlesung verwendet:
>
> "Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die
> Abschätzung [mm]|f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)|,[/mm]
> wobei [mm]L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n).[/mm]
>
> Wegen [mm]|x-x_i|\leq[/mm] b-a folgt sofort:
> [mm]|f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\bruch{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}."[/mm]
>
>
> Und daher habe ich für die Aufgabe direkt die letztere
> Abschätzung benutzt:
>
> Es gilt [mm]f^{(2+1)}(x)=\bruch{3}{8x^{\frac{5}{2}}}[/mm] und damit
> dann weiter gerechnet:
>
> [mm]|f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\bruch{1}{16y^{\bruch{5}{2}}}}_{=\bruch{f^{(3)}}{3!}}|*\bruch{4}{3}=\bruch{1}{12},[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]|f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\bruch{1}{16y^{\bruch{5}{2}}}}_{=\bruch{f^{(3)}}{3!}}|*\red{2^{3}}[/mm]
> nämlich wird das Maximum erreicht für y=1, da der Zähler
> dann am kleinsten ist, d.h., anders gesagt, dass
> [mm]y^{\bruch{5}{2}}[/mm] minimal für y=1 ist.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 12.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]|f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\bruch{1}{16y^{\bruch{5}{2}}}}_{=\bruch{f^{(3)}}{3!}}|*\red{2^{3}}[/mm]
>
Wie kommst du darauf?
Ich habe gerechnet: [mm] \bruch{(3-1)^3}{(2+1)!}, [/mm] also für n habe ich 2 eingesetzt. und das ist doch dann: [mm] \bruch{2^3}{6} [/mm] und gekürzt [mm] \bruch{4}{3}.
[/mm]
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Hallo dennis2,
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]|f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\bruch{1}{16y^{\bruch{5}{2}}}}_{=\bruch{f^{(3)}}{3!}}|*\red{2^{3}}[/mm]
>
> >
>
> Wie kommst du darauf?
>
> Ich habe gerechnet: [mm]\bruch{(3-1)^3}{(2+1)!},[/mm] also für n
> habe ich 2 eingesetzt. und das ist doch dann:
> [mm]\bruch{2^3}{6}[/mm] und gekürzt [mm]\bruch{4}{3}.[/mm]
Im Betrag steht aber schon [mm]\bruch{f^{\left(3\right)}}{3!}[/mm]
Und die Formel lautet:[mm]\bruch{f^{\left(3\right)}}{3!}*\left(b-a\right)^{3}[/mm]
Es ist [mm]f^{\left(3\right)}\left(y\right)=\bruch{3}{8*y^{5/2}}}[/mm]
Dann:[mm]\bruch{f^{\left(3\right)}\left(y\right)}{3!}=\bruch{3}{8*y^{5/2}}}*\bruch{1}{3!}=\bruch{3}{8*y^{5/2}}}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{8*y^{5/2}}}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{16*y^{5/2}}}[/mm]
Kurzum: Du hast die Fakultät quadratisch (3!*3!) in die Fehlerformel eingbracht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mi 12.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ja, ich habe verstanden, was Du meinst.
Ich habe aus Versehen die beiden Abschätzungen, die ich am Anfang meiner Frage beschrieben habe, vermischt.
Danke!
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