Interpolation der Umkehrfunkt. < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Fr 06.04.2007 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [0,1] [mm] \to [/mm] [-1, [mm] \bruch{3}{4}], [/mm] x [mm] \to x^{2}-\bruch{1}{4^{x}}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f eine Umkehrfunktion besitzt.
b) Berechnen Sie ein Newtonsches Interpolationspolynom vom Grad 2 zur Umkehrfunktion von f. Versuchen Sie dabei die Stützstellen so zu wählen, dass die Stützstellen sowie die zugehörigen Funktionswerte rational sind. |
So hier wieder ein paar Probleme.
zu a) Umkerfunktion wär ja kein Ding, aber ich seh hier garnicht so richtig die Funktion bei der Aufgabenstellung...
zu b) na gut, wenn ich die Umkehrfunktion habe, dann ist der Rest für mich kein Problem. Rational heißt doch in diesem zusammenhang hier, dass ich möglichst "schöne" Zahlen nehmen soll, anstatt z.B. 9,34536.
Vielen Dank für eure Hilfe
MFG
UE
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo UE_86!
Deine Funktion lautet doch $f(x) \ = \ [mm] x^2-\bruch{1}{4^x} [/mm] \ = \ [mm] x^2-\left(\bruch{1}{4}\right)^x$ [/mm] .
Für den Nachweis der Umkehrbarkeit brauchst Du hier m.E. gar nicht die Umkehrfunktion. Es reicht zu zeigen, dass die Funktion $f(x)_$ im o.g. Intervall $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[ \ 0 \ ; \ 1 \ \right]$ [/mm] streng monoton ist.
Dieser Nachweis kann über die Ableitung erfolgen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 06.04.2007 | | Autor: | UE_86 |
So, ich habe jetzt die Ableitung gebildet.
Man kann den Term ja noch ein wenig weiter vereinfachen:
[mm] x^{2}+\bruch{1}{4^{x}} [/mm] = [mm] x^{2}+4^{-x}
[/mm]
Abgeleitet habe ich hierfür
[mm] 2x+4^{-x}log(4) [/mm] bekommen.
Reicht dies als Beweis aus? Da man hier ja die Monotonie schon sehen kann.
Umkehrfunktion (zum weiterrechnen) wäre dann ja
x = [mm] y^{2}+4^{-y}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 06.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> So, ich habe jetzt die Ableitung gebildet.
> Man kann den Term ja noch ein wenig weiter vereinfachen:
> [mm]x^{2}+\bruch{1}{4^{x}}[/mm] = [mm]x^{2}+4^{-x}[/mm]
> Abgeleitet habe ich hierfür
> [mm]2x+4^{-x}log(4)[/mm] bekommen.
> Reicht dies als Beweis aus? Da man hier ja die Monotonie
> schon sehen kann.
Nein, die Monotonie siehst Du erst, wenn Du bewiesen hast das gilt, f'(x)>0 auf dem Definitionsbereich.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 06.04.2007 | | Autor: | UE_86 |
Der Term ist auf dem Definitionsbereich (wie generell für alle positiven) > null.
Reicht es da wenn ich dies als Beweis nehme oder sollte ich noch die Grenzen des Definitionsbereiches einsetzten und eben richtig "zeigen"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo UE_86!
> Der Term ist auf dem Definitionsbereich (wie generell für alle positiven) > null.
Das reicht schon aus als Nachweis. Aber es muss schon separat erwähnt werden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo UE_86!
Rational heißt, das die entsprechenden Koeffizienten für das Polynom 2. Grades aus der Menge [mm] $\IQ$ [/mm] der rationalen Zahlen sein soll(t)en.
Zum Beispiel muss für diese Umkehrfunktion [mm] $\overline{f}(x)$ [/mm] gelten:
[mm] $\overline{f}(-1) [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$
[mm] $\overline{f}\left(\bruch{3}{4}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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