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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:40 So 26.10.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Seien [mm] x_0,...,x_N \in \IR [/mm] paarweise verschiedene Stützstellen. Man zeige, dass die Abbildung, die den Stützwerten, das Interpolationspolynom zuordnet linear ist.
[mm] \IR^{N+1}\to\pi_{N} [/mm] : [mm] (f_0,....,f_N)^T \to [/mm] P |
P ist ein Polynom der Ordnung N. Nach Definition der Interpolation gilt [mm] P(x_j)=f_j [/mm] also kann man an diesen Stellen auch ganz leicht die Linearität zeigen, denn:
[mm] c(f_0,...,f_N)=(cf_0,..., cf_N)\to P_c [/mm] mit [mm] P_c(x_j)=cf_j=cP(x_j)
[/mm]
[mm] (f_0,..., f_N)+(f'_0,..., f'_N)=(f_0+f'_0,..., f_N+f'_N)\to [/mm] P'' mit [mm] P''(x_j)=f_j+f'_j
[/mm]
[mm] =P(x_j)+P'(x_j) [/mm]
wobei [mm] P'(x_j)=f'_j [/mm] für alle j
jetzt muss man nur noch zeigen, dass das dann auch noch an den Nichtstützstellen gilt, und da liegt mein Problem.
Wenn die Linearität an N Stellen gezeigt ist und der Zielraum die Dimension N hat, ist die Funktion dann linear, eigentlich ist das glaube ich aus LA bekannt, aber ich bin mir da nicht mehr sicher.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Do 30.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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