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Integritätsbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Do 20.11.2008
Autor: kittie

Aufgabe
Sei R ein Ring. Zeigen sie: R ist Integritätsbereich [mm] \gdw \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] R-{0} gilt: xy=xz [mm] \Rightarrow [/mm] y=z

Hallo zusammen,

komme bei der Rückrichtung leider nicht weiter. Die Hinrichtung war kein Problem.
Ich muss ja jetzt zeigen, dass [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R gilt: xy=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] y=0

und dabei irgendwie die vorraussetzung benutzen.

Kann mir da vielleicht jemand helfen. Scheint mir nicht so schwierig sein zu können, aber ich bekomms leider nicht hin.

liebe grüße die kittie

        
Bezug
Integritätsbereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Do 20.11.2008
Autor: kittie

Keine eine Idee?
Ich komme alleine leider nicht weiter..:(

Bezug
        
Bezug
Integritätsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Fr 21.11.2008
Autor: PeterB

Hallo,

Wenn $xy=0$ und [mm] $x\neq [/mm] 0$, dann ist $xy=x0$, und du kannst die Voraussetzung anwenden.

Gruß
Peter

Bezug
                
Bezug
Integritätsbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Fr 21.11.2008
Autor: kittie


> Hallo,
>  
> Wenn [mm]xy=0[/mm] und [mm]x\neq 0[/mm], dann ist [mm]xy=x0[/mm], und du kannst die
> Voraussetzung anwenden.

Aber die Vorraussetzung gilt ja nur, wenn alle Elemente aus R-{0} kommen. und das wäre ja hier dann nicht gegeben, dann kann ich das doch so nicht benutzen.oder?

Kannst du vielleicht nochmal helfen?

liebe grüße die kittie


Bezug
                        
Bezug
Integritätsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Fr 21.11.2008
Autor: PeterB


> > Hallo,
>  >  
> > Wenn [mm]xy=0[/mm] und [mm]x\neq 0[/mm], dann ist [mm]xy=x0[/mm], und du kannst die
> > Voraussetzung anwenden.
>  
> Aber die Vorraussetzung gilt ja nur, wenn alle Elemente aus
> R-{0} kommen. und das wäre ja hier dann nicht gegeben, dann
> kann ich das doch so nicht benutzen.oder?
>  
> Kannst du vielleicht nochmal helfen?
>  
> liebe grüße die kittie
>  

Du hast recht, da die Aufgabe sonst oft anders gestellt wird, hatte ich diese Bedingung übersehen. Vermutlich musst du hier zwei Fälle unterscheiden:
1) R hat maximal zwei Elemente. Dann gibt es nur zwei Ringe.
2) R hat mindestens 3 Elemente, dann gibt es in meiner Situation ein [mm] $z\in [/mm] R$ mit [mm] $z\neq [/mm] y$ und [mm] $z\neq [/mm] 0$ und dann kannst du deine Voraussetzung auf $x(y-z)=xy-xz=x0-xz=x(-z)$ anwenden.

Damit sollte es klappen.

Gruß
Peter

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