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Integrierender Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 30.03.2010
Autor: phil974

Aufgabe
Gegeben ist:

[mm] (1-x^{2}y) [/mm] dx + [mm] (x^{2}y [/mm] - [mm] x^{3})dy [/mm] = 0

Folgendes soll bearbeitet werden:

Ist die Funktion exakt ?
Integrierenden Faktor bestimmen
Allgemeine Lösung y(x) berechnen

So bin ich vorgegangen:

Ist die DGL exakt ?

p = [mm] 1-x^{2}y [/mm]

[mm] p_{y} [/mm] = [mm] -x^{2} [/mm]

q= [mm] x^{2}y [/mm] - [mm] x^{3} [/mm]

[mm] q_{x}= [/mm] 2xy - [mm] 3x^{2} [/mm]

[mm] p_{y} \not= q_{x} \Rightarrow [/mm]  nicht exakt

Jetzt habe ich glaube ich was übersprungen und direkt die 4 Ansätze durchprobiert:

[mm] \mu= \mu(x) \Rightarrow \bruch{\mu}{\mu'} [/mm]  = [mm] \bruch {p_{y} - q_{x}}{q} [/mm]

[mm] \mu= \mu(y) \ldots [/mm]

[mm] \mu= \mu(xy) \ldots [/mm]

[mm] \mu= \mu(x+y) \ldots [/mm]

Mein Problem ist, dass keine der Bedingungen aufgeht.

Rechenfehler ? Falscher Ansatz ?

Mir fehlt irgendwie, dass die Bedingung für [mm] \mu [/mm] erfüllt wird:

[mm] p_{y} [/mm] * [mm] \mu [/mm] + p * [mm] \mu_{y} [/mm] = [mm] q_{x} [/mm] * [mm] \mu [/mm] + q * [mm] \mu_{x} [/mm]

        
Bezug
Integrierender Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Di 30.03.2010
Autor: fred97

Dividiere die Gleichung durch [mm] x^2 [/mm]

FRED

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Integrierender Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 30.03.2010
Autor: phil974

Okay, schon wird aus einer nicht exakten Gleichung eine exakte

[mm] p_{y} [/mm] = [mm] q_{x} [/mm] = -1

jetzt fallen die Bedingungen weg und ich muss das ganze wie lösen ? über die von mir vorhin gepostete gleichung ? ?



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Integrierender Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 30.03.2010
Autor: MathePower

Hallo phil974,

> Okay, schon wird aus einer nicht exakten Gleichung eine
> exakte
>  
> [mm]p_{y}[/mm] = [mm]q_{x}[/mm] = -1
>  
> jetzt fallen die Bedingungen weg und ich muss das ganze wie
> lösen ? über die von mir vorhin gepostete gleichung ? ?
>  
>  


Für die Lösung F(x,y) gilt dann:

[mm]F_{x} = \bruch{p\left(x,y\right)}{x^{2}} \ \Rightarrow F\left(x,y\right)= \integral_{}^{}{\bruch{p\left(x,y\right)}{x^{2}} \ dx}+C\left(y\right)[/mm]

Diese Funktion differenzierst Du jetzt nach y und
vergleichst das Ergebnis mit q(x,y).

Daraus ergibt sich dann das C(y) und somit auch die Funktion F(x,y).


Gruss
MathePower

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Integrierender Faktor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Di 30.03.2010
Autor: phil974

Hatte mir schon was zu dem Punkt rausgeschrieben, nur wieder königlich übersehen:

laut Finckenstein Band 2, S-20 Satz 2.5

u(x,y) = [mm] \integral_{x_{0}}^{x}{p(\alpha , y) d\alpha} [/mm] + [mm] \integral_{y_{0}}^{y}{q(x_{0}, \beta) d\beta} [/mm]

mit [mm] y_{0}= x_{0} [/mm] = 0, da keine Anfangsbedingungen

u(x,y) = c

Das dürfte ja von der Kernaussage vergleichbar mit deiner Antwort sein.

Setze ich meine Werte ein, komme ich auf:

c= [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - yx + [mm] \bruch{1}{2}y^{2} [/mm]

Ich traue dem Ergebnis aber nicht..........


P.S. Das mit der Erweiterung mit [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] habe ich einfach nicht gesehen, wie es manchmal so ist, aber war bei zwei, drei anderen Aufgaben hilfreich, danke nochmal für diesen "offensichtlichen Trick".

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Integrierender Faktor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 30.03.2010
Autor: MathePower

Hallo phil974,

> Hatte mir schon was zu dem Punkt rausgeschrieben, nur
> wieder königlich übersehen:
>  
> laut Finckenstein Band 2, S-20 Satz 2.5
>  
> u(x,y) = [mm]\integral_{x_{0}}^{x}{p(\alpha , y) d\alpha}[/mm] +
> [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{q(x_{0}, \beta) d\beta}[/mm]
>  
> mit [mm]y_{0}= x_{0}[/mm] = 0, da keine Anfangsbedingungen
>  
> u(x,y) = c
>  
> Das dürfte ja von der Kernaussage vergleichbar mit deiner
> Antwort sein.
>  
> Setze ich meine Werte ein, komme ich auf:
>  
> c= [mm]\bruch{2}{x}[/mm] - yx + [mm]\bruch{1}{2}y^{2}[/mm]
>  
> Ich traue dem Ergebnis aber nicht..........
>  


Dann rechne es doch nach.

Wie Du dann feststellen wirst, stimmt das Ergebnis bis auf [mm]\bruch{2}{x}[/mm].


>
> P.S. Das mit der Erweiterung mit [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] habe ich
> einfach nicht gesehen, wie es manchmal so ist, aber war bei
> zwei, drei anderen Aufgaben hilfreich, danke nochmal für
> diesen "offensichtlichen Trick".


Gruss
MathePower

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Integrierender Faktor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 Mi 31.03.2010
Autor: phil974

Danke für die Hilfe !!

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