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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen Ansatz der Form
$ I = [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{k}cosh(x))$
[/mm]
für ein geeignetes $n [mm] \in \IN$ [/mm] wählen und diesen differenzieren.
Beispiel 7:
[mm] \integral{x^{2} sinh(x) dx}
[/mm]
Integriert: [mm] $cosh(x)(x^{2} [/mm] + 2) - [mm] 2x\cdot [/mm] sinh(x) + C$ |
Hallo alle miteinander,
kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
Muss ich das Integral [mm] \integral{x^{2} sinh(x) dx} [/mm] so umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm] $x^{k} (A_{k}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{k}cosh(x))$ [/mm] ?
Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
Danke im Voraus,
Lg
dreamweaver
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Hallo dreamweaver,
> Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> Ansatz der Form
>
> [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>
> für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> differenzieren.
>
> Beispiel 7:
> [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>
> Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
> Hallo
> alle miteinander,
>
> kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
>
> Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> ?
> Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
>
> Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
Als Ansatz für das Integral
[mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
wird
[mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
gewählt.
Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das Ergebnis mit
[mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>
> Danke im Voraus,
>
> Lg
> dreamweaver
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Hallo dreamweaver,
>
> > Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> > Ansatz der Form
> >
> > [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>
> >
> > für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> > differenzieren.
> >
> > Beispiel 7:
> > [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
> >
> > Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
> >
> Hallo
> > alle miteinander,
> >
> > kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
> >
> > Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> > umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> > ?
> > Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
> >
> > Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
>
>
> Als Ansatz für das Integral
>
> [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>
> wird
>
> [mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>
> gewählt.
Das heißt, ich muss die Reihe aufschreiben und dann ableiten?
Also diese Funktion f(x) ableiten?
f(x) = [mm] x^{0} (A_{0}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{0}cosh(x)) [/mm] + [mm] x^{1} (A_{1}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{2}cosh(x)) [/mm] + [mm] x^{2} (A_{3}sinh(x) [/mm] + [mm] B_{3}cosh(x))
[/mm]
Aber das kann doch nicht sein oder? Ich glaub ich mach da schon wieder Blödsinn ^^.
Oder soll die Funktion die ich ableiten muss so aussehen?
f(x) = [mm] x^{0} (A_{0}sinh(x)) [/mm] + [mm] x^{1} (A_{1}sinh(x)) [/mm] + [mm] x^{2} (A_{3}sinh(x))
[/mm]
>
> Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das
> Ergebnis mit
>
> [mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
>
>
> >
> > Danke im Voraus,
> >
> > Lg
> > dreamweaver
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke MathePower!
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Hallo,
> > Hallo dreamweaver,
> >
> > > Berechnen Sie das Integral aus Beispiel 7 indem Sie einen
> > > Ansatz der Form
> > >
> > > [mm]I = \summe_{k=0}^{n} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>
> >
> > >
> > > für ein geeignetes [mm]n \in \IN[/mm] wählen und diesen
> > > differenzieren.
> > >
> > > Beispiel 7:
> > > [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
> > >
> > > Integriert: [mm]cosh(x)(x^{2} + 2) - 2x\cdot sinh(x) + C[/mm]
> >
> >
> > Hallo
> > > alle miteinander,
> > >
> > > kann mir bitte jemand sagen, was ich hier machen soll?
> > >
> > > Muss ich das Integral [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm] so
> > > umformen, dass ich diese Form erhalte: [mm]x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
> > > ?
> > > Wenn ja, wie soll ich das anstellen?
> > >
> > > Oder nehme ich das Ergebnis von Bsp 7?
> >
> >
> > Als Ansatz für das Integral
> >
> > [mm]\integral{x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
> >
> > wird
> >
> > [mm]I = \summe_{k=0}^{2} x^{k} (A_{k}sinh(x) + B_{k}cosh(x))[/mm]
>
> >
> > gewählt.
> Das heißt, ich muss die Reihe aufschreiben und dann
> ableiten?
> Also diese Funktion f(x) ableiten?
> f(x) = [mm]x^{0} (A_{0}sinh(x)[/mm] + [mm]B_{0}cosh(x))[/mm] + [mm]x^{1} (A_{1}sinh(x)[/mm]
> + [mm]B_{2}cosh(x))[/mm] + [mm]x^{2} (A_{3}sinh(x)[/mm] + [mm]B_{3}cosh(x))[/mm]
>
> Aber das kann doch nicht sein oder? Ich glaub ich mach da
Doch das ist so.
> schon wieder Blödsinn ^^.
Der Blödsinn beschränkt sich hier auf die Indizes.
Du machst den Ansatz:
[mm]f(x) = x^{0} (A_{0}sinh(x) + B_{0}cosh(x)) + x^{1} (A_{1}sinh(x) + B_{\blue{1}}cosh(x)) + x^{2} (A_{\blue{2}}sinh(x) + B_{\blue{2}}cosh(x))[/mm]
Diesen leitest Du jetzt ab.
>
> Oder soll die Funktion die ich ableiten muss so aussehen?
Das ist dann zu einfach.
> f(x) = [mm]x^{0} (A_{0}sinh(x))[/mm] + [mm]x^{1} (A_{1}sinh(x))[/mm] + [mm]x^{2} (A_{3}sinh(x))[/mm]
>
> >
> > Diesen Ansatz differenzierst Du und vergleichst das
> > Ergebnis mit
> >
> > [mm]x^{2} sinh(x) dx}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Danke im Voraus,
> > >
> > > Lg
> > > dreamweaver
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke MathePower!
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ok ich hab jetzt differenziert und bekomme folgendes raus:
[mm] f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] cosh(x)(A_{0} [/mm] + [mm] B_{1} [/mm] + [mm] x(A_{1} [/mm] + [mm] 2B_{2} [/mm] + [mm] xA_{2})) [/mm] + [mm] sinh(x)(B_{0} [/mm] + [mm] A_{1} [/mm] + [mm] x(B_{1} [/mm] + [mm] 2A_{2} [/mm] + [mm] xB_{2}))
[/mm]
Muss ich das nochmal ableiten, oder ist es schon das Ergebnis?
Was ist der nächste Schritt?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ok ich hab jetzt differenziert und bekomme folgendes raus:
>
> [mm]f^{(1)}(x)[/mm] = [mm]cosh(x)(A_{0}[/mm] + [mm]B_{1}[/mm] + [mm]x(A_{1}[/mm] + [mm]2B_{2}[/mm] +
> [mm]xA_{2}))[/mm] + [mm]sinh(x)(B_{0}[/mm] + [mm]A_{1}[/mm] + [mm]x(B_{1}[/mm] + [mm]2A_{2}[/mm] +
> [mm]xB_{2}))[/mm]
>
> Muss ich das nochmal ableiten, oder ist es schon das
> Ergebnis?
>
> Was ist der nächste Schritt?
Jetzt musst Du [mm]f^{(1)}(x)[/mm] mit [mm]x^{2}*\sinh\left(x\right)[/mm] vergleichen.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Muss ich also schaun, welche Werte ich für [mm] A_{0}, B_{0}... [/mm] einsetzen muss, damit $ [mm] f^{(1)}(x) [/mm] $ gleich $ [mm] x^{2}\cdot{}\sinh\left(x\right) [/mm] $ entspricht?
Lg
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> Muss ich also schaun, welche Werte ich für [mm]A_{0}, B_{0}...[/mm]
> einsetzen muss, damit [mm]f^{(1)}(x)[/mm] gleich
> [mm]x^{2}\cdot{}\sinh\left(x\right)[/mm] entspricht?
>
> Lg
genau, einfach nen koeffizientenvergleich machen
gruß tee
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Danke für die Antwort, aber wie kann ich hier einen Koeffizientenvergleich anstellen?
Für einen Koeffizientenvergleich brauch ich doch eine Gleichung oder?
Muss ich folgende Gleichung anstellen?
[mm] x^{2}sinh(x) [/mm] = $ [mm] cosh(x)(A_{0} [/mm] + [mm] B_{1} [/mm] + [mm] x(A_{1} [/mm] + [mm] 2B_{2} [/mm] + [mm] xA_{2})) [/mm] + [mm] sinh(x)(B_{0} [/mm] + [mm] A_{1} [/mm] + [mm] x(B_{1} [/mm] + [mm] 2A_{2} [/mm] + [mm] xB_{2})) [/mm] $
Wie mach ich jetzt einen Koeffizientenvergleich?
Danke für eure Bemühungen.
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke für die Antwort, aber wie kann ich hier einen
> Koeffizientenvergleich anstellen?
> Für einen Koeffizientenvergleich brauch ich doch eine
> Gleichung oder?
>
> Muss ich folgende Gleichung anstellen?
>
> [mm]x^{2}sinh(x)[/mm] = [mm]cosh(x)(A_{0} + B_{1} + x(A_{1} + 2B_{2} + xA_{2})) + sinh(x)(B_{0} + A_{1} + x(B_{1} + 2A_{2} + xB_{2}))[/mm]
Besser Du multiplizierst die rechte Seite aus.
>
> Wie mach ich jetzt einen Koeffizientenvergleich?
Vergleiche jeweilse gleiche Ausdrücke in x auf der rechten Seite
mit denen auf der linken Seite.
Ist ein Ausdruck auf der linken Seite nicht vorhanden, so ist er 0.
>
> Danke für eure Bemühungen.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ok dann hab ich folgendes dastehen:
[mm] x^{2}sinh(x) [/mm] = [mm] cosh(x)A_{0} [/mm] + [mm] cosh(x)B_{1} [/mm] + [mm] cosh(x)xA_{1} [/mm] + [mm] cosh(x)2xB_{2} [/mm] + [mm] cosh(x)x^{2}A_{2} [/mm] + [mm] sinh(x)B_{0} [/mm] + [mm] sinh(x)A_{1} [/mm] + [mm] sinh(x)xB_{1} [/mm] + [mm] sinh(x)2xA_{2} [/mm] + [mm] sinh(x)x^{2}B_{2}
[/mm]
Wenn ich nun vergleiche, komme ich auf folgende Werte:
[mm] B_{0} [/mm] = 2
[mm] B_{2} [/mm] = 1
[mm] A_{1} [/mm] = -2
Die restlichen Faktoren sind 0.
Ich denke das stimmt so oder?
Vielen Dank!
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Ok dann hab ich folgendes dastehen:
>
> [mm]x^{2}sinh(x)[/mm] = [mm]cosh(x)A_{0}[/mm] + [mm]cosh(x)B_{1}[/mm] + [mm]cosh(x)xA_{1}[/mm]
> + [mm]cosh(x)2xB_{2}[/mm] + [mm]cosh(x)x^{2}A_{2}[/mm] + [mm]sinh(x)B_{0}[/mm] +
> [mm]sinh(x)A_{1}[/mm] + [mm]sinh(x)xB_{1}[/mm] + [mm]sinh(x)2xA_{2}[/mm] +
> [mm]sinh(x)x^{2}B_{2}[/mm]
>
> Wenn ich nun vergleiche, komme ich auf folgende Werte:
> [mm]B_{0}[/mm] = 2
> [mm]B_{2}[/mm] = 1
> [mm]A_{1}[/mm] = -2
> Die restlichen Faktoren sind 0.
>
> Ich denke das stimmt so oder?
Ja, das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank!
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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