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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integrierbarkeit überprüfen
Integrierbarkeit überprüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integrierbarkeit überprüfen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Di 03.01.2012
Autor: Omikron123

Aufgabe
Ich habe eine Umgebung [mm] U=\{(x,y): 0

Ich mit dem Satz vertraut, dass wenn eine Folge kompakter Jordan-meßbarer Mengen [mm] A_n [/mm] mit [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A^\circ_n [/mm] existiert, sodass lim [mm] \integral_{A_n}^{}{f dx} [/mm] existiert, dann ist f auf U integrierbar.

Mein Problem ist genau so eine Menge [mm] A_n [/mm] zu finden. Das Integral selbst zu berechnen ist eine einfache Angelegenheit.

        
Bezug
Integrierbarkeit überprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Di 03.01.2012
Autor: MatthiasKr

Hallo,

> Ich habe eine Umgebung [mm]U=\{(x,y): 0
> [mm]f(x,y)=log(\wurzel{x^2+y^2}).[/mm] Nun möchte ich zeigen das
> die Funktion f auf U integrierbar ist.
>  Ich mit dem Satz vertraut, dass wenn eine Folge kompakter
> Jordan-meßbarer Mengen [mm]A_n[/mm] mit
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A^\circ_n[/mm] existiert, sodass lim
> [mm]\integral_{A_n}^{}{f dx}[/mm] existiert, dann ist f auf U
> integrierbar.
>
> Mein Problem ist genau so eine Menge [mm]A_n[/mm] zu finden. Das
> Integral selbst zu berechnen ist eine einfache
> Angelegenheit.  

wie wäre es denn mit  [mm]A_n=\{(x,y): \frac1n
gruss
matthias


Bezug
                
Bezug
Integrierbarkeit überprüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Di 03.01.2012
Autor: Omikron123

Vollkommen richtig, hätte ich selber drauf kommen müssen, trotzdem vielen Dank.

Bezug
                
Bezug
Integrierbarkeit überprüfen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 03.01.2012
Autor: Omikron123

Möchte jetzt trotzdem, um einem dummen Fehler zu entgehen, überprüfen ob ich die Grenzen richtig bestimmt habe.

[mm] \integral_{A_n}^{}{Log(\wurzel{x^2+y^2}) dxdy}= [/mm] (Substitution mittels Polarkoordinaten) = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{\bruch{1}{n}}^{1}{Log(r) dr} d\alpha} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integrierbarkeit überprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 03.01.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Möchte jetzt trotzdem, um einem dummen Fehler zu entgehen,
> überprüfen ob ich die Grenzen richtig bestimmt habe.
>  
> [mm]\integral_{A_n}^{}{Log(\wurzel{x^2+y^2}) dxdy}=[/mm]
> (Substitution mittels Polarkoordinaten) =
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\integral_{\bruch{1}{n}}^{1}{Log(r) dr} d\alpha}[/mm]

Bei der Substitution kommt noch ein Faktor r dazu (Gramsche Determinante).

Weiterhin läuft der Winkel von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] (es handelt sich um eine Kreisscheibe, die parametrisiert wird).

LG

Bezug
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