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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Fr 30.03.2007 | | Autor: | fidelio |
| Aufgabe | | rechne folgende integralrechnung..... |
hallo und schönen abend an alle,
folgendes problem stellt sich mir bei folgender integralrechnung......
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\bruch{12}{(2x-5)^3}dx=12\*\bruch{(2x-5)^{-3+1}}{-3+1}=12\*\bruch{(2x-5)^{-2}}{-2}=-\bruch{12}{2}\*\bruch{1}{(2x-5)^2}=-6\*\bruch{1}{(2x-5)^2}+C
[/mm]
soweit war ich der meinung ich bin richtig mit meiner rechnung......bis ich dann im lösungsheft nachgesehen habe und da stand dann folgendes:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\bruch{12}{(2x-5)^3}dx=\bruch{12}{2\*(x-2,5)^3} [/mm] ....... usw...... die rechnung will ich jetzt nicht abschreiben......aber mein ergebnis stimmt mit dem vom buch LEIDER nicht überein und ich verstehe nicht warum die gerade bei DIESEM beispiel 2 herausgehoben haben!?!?!?!?!......bei anderen beispielen wo man auch einen wert herausheben hätte können haben die das aber nicht gemacht!!???
ich erkenne nicht warum die das so machen!!!!
als information noch am rande wenn ich für den wert x eine beliebige ziffer in mein resultat einsetze bekomme ich immer das doppelte von dem resultat aus dem lösungsheft heraus!!
bitte um eure wie immer geschätzte mithilfe da ich da leider kein licht am ende des tunnels sehe.
danke im voraus
fidelio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die 2 können die Autoren nicht herauszihene, wenn dann nur eine [mm] 2^3 [/mm] (s.h. Post von Norber)
Gucken wir also mal, warum du immer das doppelte Herausbekommst, als es die Lösung vorgibt:
Wenn du die 2 noch als Faktor vor dem x stehen lässt, und dann einfach sagst, dass die Stammfunktion von [mm] (2x)^{-3}=-\bruch{1}{2}*(2x)^{-2} [/mm] ist, dann hast du nicht beachtet, dass es noch eine innere Ableitung gibt:
Leite mal [mm] -\bruch{1}{2}*(2x)^{-2} [/mm] ab, und du siehst:
[mm] (2x)^{-3} [/mm] * Innere Ableitung! => [mm] (2x)^{-3}*2 [/mm]
Deine Funktion, die du integrieren solltest hatte aber (vereinfacht) die Form [mm] (2x)^{-3}.
[/mm]
D.h., da ist der Faktor 2 zu viel. Um diesen zu beseitigen, musst du die dann sagen, dass die SF zu [mm] (2x)^{-3} [/mm] gleich [mm] 0,5*(-\bruch{1}{2})*(2x)^{-2} [/mm] lautet, denn dann fällt die 2 der inneren Ableitung durch den Faktor 0,5 weg.
Damit du diese Überlegung aber einfach umgehen kannst, zieht der Autor einfach die 8 aus der Klammer heraus, und sorgt damit dafür, dass die innere Ableitung der Klammer gleich Eins ist. Dadurch entfällt dann eine solche Überlegung.
In deinem Fall aber zusammengefasst, wo die 2 noch in der Klammer steht, musst du die Stammfunktion noch "zurechtbügeln", indem du den Faktor 0,5 davorhängst.
Das erklärt dann auch, warum bei deinen Ergebnissen, wenn du die Integrationsgrenzen einsetzt, immer das doppelte herauskommt, als es das Lösungsbuch sagt, da du den Faktor 0,5 vergessen hast, der dann also dein Ergebnis halbieren würde.
Das ergibt dann in deinem Fall:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{12}{(2x-5)^3} dx}=12*\integral_{}^{}{(2x-5)^{-3}}dx=12*(-1/2)*(2x-5)^{-2}*0,5=-3*(2x-5)^{-2} [/mm]
Viele Grüße,
Kroni
Und PS: Sry, ich stand heute etwas neben mir....
Tut mir leid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Fr 30.03.2007 | | Autor: | nsche |
Das Herausziehen des Faktors 2 erscheint mir zweifelhaft.
[mm] (2x-5)^{3} = (2 (x-2,5))^{3} = 2^{3}*(x-2,5)^{3}[/mm]
vG
Norbert
ich rechne mal:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{12}{(2x-5)^{3}} dx} = [/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{12}{2^{3}(x-2,5)^{3}} dx} = [/mm]
[mm]\bruch{3}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{(x-2,5)^{3}}} [/mm]
Sub: [mm] t=\phi (x) = x-2,5; \bruch{dt}{dx} = \phi '(x)=1; dt = dx [/mm]
[mm]\bruch{3}{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{dt}{t^{-3}}} = \bruch{3}{2*(-2)} t^{-2}| = \bruch{-3}{4} t^{-2}| [/mm]
resub:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{12}{(2x-5)^{3}} dx} = \bruch{-3}{4} (x-2,5)^{-2} | [/mm]
Wenn ich das Ergebnis differenziere, erhalte ich den Integranden. was mich beruhigt
vG
Norbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hast Recht Norbert, ich hätte mal vlt. darüber nachdenken sollen, ob das überhaupt so okay ist, die 2 dort rauszuziehen....
Heute ist wohl nicht mein Tag^^
Sláin,
Kroni
Sry, sollte keine Frage werden...wie gesagt, heute bin ich echt durch den Wind..
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