Integrationsgrenzen bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Man berechne die Masse M des Körpers K welcher von den Koordinatenebenen und der Ebene $ E: x+y+z = 1$ begrenzt wird und die Dichte $ [mm] \rho [/mm] (x,y,z) = 2 -x - y -z $ hat.
$ M = [mm] \iiint_K \rho [/mm] (x,y,z) [mm] \mathrm [/mm] dx [mm] \mathrm [/mm] dy [mm] \mathrm [/mm] dz $ |
Hi,
wollte nur mal kurz fragen wie ich hier die Integrationsgrenzen bestimme.
Das ich zumindest für 2 Integrale die Grenzen bestimmen kann weiß ich , nämlich das $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 $ sowie das ich z.b. sagen kann $ z= 1-x-y $ und daraus dann die Grenzen für z gewinnen $ 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1-x-y $ aber wie komme ich denn nochmal auf y?
Ich könnte natürlich einfach noch sagen $ y= 1 - x$ aber dann vernachlässige ich ja das z das da eigentlich noch wäre.
Kann/ muss ich denn die Grenzen so einfach aus der einen Gleichung für die Ebene ziehen?
Bzw. wenn ich statt y dann x nehme dann einfach mit $ x = 1-y $ ? Muss ich immer so vorgehen? Also dann einfach die schon integrierte Variable vernachlässigen?
Grüße
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> Man berechne die Masse M des Körpers K welcher von den
> Koordinatenebenen und der Ebene [mm]E: x+y+z = 1[/mm] begrenzt wird
> und die Dichte [mm]\rho (x,y,z) = 2 -x - y -z[/mm] hat.
> [mm]M = \iiint_K \rho (x,y,z) \mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz[/mm]
>
> Hi,
Hallo,
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> wollte nur mal kurz fragen wie ich hier die
> Integrationsgrenzen bestimme.
> Das ich zumindest für 2 Integrale die Grenzen bestimmen
> kann weiß ich , nämlich das [mm]0 \le x \le 1[/mm] sowie das ich
> z.b. sagen kann [mm]z= 1-x-y[/mm] und daraus dann die Grenzen für
> z gewinnen [mm]0 \le z \le 1-x-y[/mm] aber wie komme ich denn
> nochmal auf y?
Die Grenzen für z stimmen. Wie du oben auf die Grenzen für x kommst weiß nicht. (Stimmen aber!)
Du weißt ja jetzt außerdem, dass [mm] $y\ge [/mm] 0$ und zudem [mm] 0\le [/mm] 1-x-y, somit kann y doch maximal $1-x$ groß werden, also [mm] $0\le y\le [/mm] 1-x. $
Analog erhälst du die Grenzen für x.
Gruß Patrick
> Ich könnte natürlich einfach noch sagen [mm]y= 1 - x[/mm] aber
> dann vernachlässige ich ja das z das da eigentlich noch
> wäre.
> Kann/ muss ich denn die Grenzen so einfach aus der einen
> Gleichung für die Ebene ziehen?
>
> Bzw. wenn ich statt y dann x nehme dann einfach mit [mm]x = 1-y[/mm]
> ? Muss ich immer so vorgehen? Also dann einfach die schon
> integrierte Variable vernachlässigen?
>
>
> Grüße
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Hallo,
> > Die Grenzen für z stimmen. Wie du oben auf die Grenzen
> > für x kommst weiß nicht. (Stimmen aber!)
> > Du weißt ja jetzt außerdem, dass [mm]y\ge 0[/mm]
>
> woher weiß ich denn das? 
Da dein Körper doch von den Koordinatenebenen begrenzt wird.
>
> > und zudem [mm]0\le[/mm] 1-x-y,
>
> da [mm]z \le 1-y-x[/mm] oder?
Da auch [mm] z\ge [/mm] 0 ist, folgt insbesondere meine Ungleichung.
>
> > somit kann y doch maximal [mm]1-
x[/mm] groß werden, also
> > [mm]0\le y\le 1-x.[/mm]
> >
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> Das wiederum hab ich sofort verstanden 
>
> > Analog erhälst du die Grenzen für x.
> >
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 07.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hi,
hab deine Erklärung verstanden, danke sehr!
Nun werd ich vor dieses Integral gestellt
$ [mm] \iint_{x^2 + y^2 \le R^2} e^{-a(x^2 + y^2)}\ \mathrm [/mm] dx [mm] \mathrm [/mm] dy $ für a > 0.
Die Grenzen hab ich mir so überlegt $ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le R^2 \rightarrow x^2 \le R^2 [/mm] - [mm] y^2 \rightarrow [/mm] x [mm] \le \sqrt{R^2 - y^2} [/mm] $ und daraus muss folgen (wenn $0 [mm] \le [/mm] x $ )das
$ [mm] y^2 \le R^2 \rightarrow [/mm] y [mm] \le [/mm] R $ Nur diesmal hab ich ja keine Ahnung ob das ganze von den Ebenen begrenzt wird, weshalb ich ja nicht einfach sagen kann $ 0 [mm] \le [/mm] x$ bzw $ 0 [mm] \le [/mm] y$ oder? Wehalb dann meine
$ [mm] y^2 \le R^2 \rightarrow [/mm] y [mm] \le [/mm] R $ Behauptung auch irgendwie wieder nichtig wird ;)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kennst du polarkoordinaten, Dann solltest du das Integral mit Polarkoordinaten trechnen, r von 0 bis R [mm] \phi [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ah super, das hatte ich vergessen!
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