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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also diesmal hab ich die Ergebnisse von Kommilitonen, wüsste aber gern nochmal wie man darauf kommt, weil man mir das eher grafisch versucht hat zu erklären, ich aber beim Aufschreiben der Aufgabe doch irgendwie eine analytische Herleitung bräuchte. Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie das $µ_3$-Maß jener Teilmenge des [mm] $\IR^3$, [/mm] die von den folgenden Flächen begrenzt wird:
$x+y+z = [mm] 6\,$
[/mm]
[mm] $x=0\,$
[/mm]
[mm] $z=0\,$
[/mm]
$x+2y = [mm] 4\,$
[/mm]
Als Integrationsgrenzen habe ich jetzt:
[mm]\integral_0^8 \integral_{-\frac{1}{2}x + 2}^{6-x} \integral_0^{6-x-y} 1\,dz \, dy \, dx = ... = \frac{64}{3}[/mm]
Gibt es zur Bestimmung der Integrationsgrenzen ein Standardverfahren? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Di 16.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Micha
ich bin überzeugt, deine Kommilitonen sind alles nette Kerle und nette Mädels, aber hier haben sie dir ganz offensichtlich nicht das Richtige gezeigt!
Am besten ist es aber wohl schon, wenn man da mal grafisch lernt, bis sich die nötigen Aha-Erlebnisse einstellen. Ich will deshalb gerade dein Beispiel aufgreifen, um das etwas zu beleuchten.
Mache doch bitte eine Skizze: das 3-dimensionale Koordinatensystem.
Dann zeichne deinen Körper, dessen Volumen du berechnen willst, ein. Das gibt im Wesentlichen die sechs Eckpunkte
A(6,0,0); B(0,6,0); C(0,2,0); D(4,0,0); E(0,2,4) und F(4,0,2).
Die Begrenzungsflächen sind: ABCD; ABEF; DCEF; ADF und CBE.
Jetzt kommt das Folgende: beim Integrieren eliminierst du nacheinander je eine Dimension. (In der allgemeinen Theorie muss es nicht eine einzelne Dimension sein, es kann auch anders aufgeteilt werden, aber lassen wir das jetzt!) Die Reihenfolge ist nicht wesentlich, die richtige Wahl kann aber das Leben jeweils etwas erleichtern. Zuerst ein Wenig denken, dann rechnen!
Was hast du zu tun, wenn du eine Dimension eliminierst? Du hast genau in der Integrationsrichtung deinen Körper auf die übriggebliebenen Dimensionen zu projizieren. Das "Schattenbild" ergibt dann den neuen Bereich, über dem zu integrieren ist.
Wenn du also, wie ihr es gemacht habt, zuerst die z-Richtung behandelst, dann Entstehen die folgenden Punkte in der x-y-Ebene. Ich lasse dabei die Bezeichnung der Punkte faulheitshalber so, wie sie original, also vor der Projektion hiessen: (bitte mach eine neue Zeichnung, nur die x-y-Ebene enthaltend)
A(6,0); B(0,6); C(0,2); D(4,0); E(0,2); F(4,0).
Dein Bereich (der Schatten des Volumens) ist jetzt ein Viereck, dessen Ecken die obengenannten sind (einige fallen dabei übereinander).
Bei diesem Zusammenpressen des Volumens auf die x-y-Ebene musst du dir noch überlegen, welche Werte das z, also in Projektionsrichtung gesehen, über deinem Schatten eingenommen hat. Hier ist es einfach: über dem Gesamten Schatten lief das z von 0 bis (6-x-y). Eigentlich misst man ja nur ganz banal die Höhe der Säulen über deinem Schatten, um für die nächsten Schritte die richtige Gewichtung für die jetzt 2-dimensionalen Volumenelemente (also jetzt Flächenelemente) zu haben.
Soweit habt ihr das also richtig gemacht! 
Ueber der soeben gezeichneten Fläche müsst ihr jetzt weiter integrieren. Machen wir das aber einmal konkret bis hierhin:
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} \integral_{0}^{6-x-y}1\, dz\, dy\, [/mm] dx =$
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx$
So, wie weiter?
Nun geht es genau gleich weiter, einfach mit einer anderen Richtung. Ihr habt dazu die y-Richtung gewählt.
Machen wir das auch!
Jetzt aber Vorsicht!!
Du siehst der Figur an, dass, wenn ich in y-Richtung auf die übriggebliebene Dimension projiziere (also einfach noch auf die x-Achse), dass dann für x noch der Bereich 0 bis 6 übrigbleibt.
Welche Werte durchläuft aber beim erneuten Zusammenpressen der Figur der y-Wert?
Hier stellst du fest, dass für x zwischen 0 und 4 das y von [mm] $2-\bruch{x}{2}$ [/mm] bis $6-x_$ läuft, für x zwischen 4 und 6 aber nur von 0 bis $6-x_$!
Wir müssen ja schliesslich auch hier lediglich die richtigen Gewichte finden, die jetzt eben auf den Linienelementen der x-Achse residieren.
Das Integral ist also in 2 einzelne Bereiche zu teilen!
Also so:
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx = $
[mm] $\integral_{0}^{4} \integral_{2-\bruch{x}{2}}^{6-x} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx + [mm] \integral_{4}^{6} \integral_{0}^{6-x} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx =$
[mm] $\integral_{0}^{4} (8-2x+\bruch{1}{8}x^{2}) \, [/mm] dx + [mm] \integral_{4}^{6} (18-6x+\bruch{1}{2}x^{2}) \, [/mm] dx$
Ich denke, mit dem Rest solltest du keine Probleme mehr haben!
Ich bin auf das Ergebnis $20_$ gekommen. Rechenfehler sind bei mir aber nie auszuschliessen!
Als Übung wäre es sicher nützlich, einmal die Reihenfolge der Projektionsrichtungen zu ändern, um zu sehen, was dann passiert. Bei diesem Beispiel wirst du feststellen, dass du nie darum herumkommst, nach der ersen Ausführung der Integration, in welche Richtung auch immer, die Integrale in verschiedene Bereiche aufzuteilen. (Das könnte sich dann mit etwas mehr Theoriekenntnissen (Koordinatentransformation) noch ändern!).
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 16.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi Paul!
Ich sitze auch an dieser Aufgabe,
komme aber irgendwie nicht auf die 6 Eckpunkte.
Bei mir kommen immer die 4 Eckpunkte A=(8,-2,0), B=(0,6,0), C=(0,2,0), E=(0,2,4) und das ganze ergibt einen Tetraeder.
Weiß wirklich nicht wo mein Fehler ist.
Mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 16.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo an alle
in obiger Antwort ist mir ein kleiner Lapsus passiert: ich habe zu den gegebenen Begrenzungsflächen noch eine hinzugedichtet: $y=0_$. das Prinzip ist aber trotzdem richtig. Ich werde in einer zusätzlichen Antwort versuchen, eine korrigierte Version zu erschaffen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Di 16.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Micha
das was ich in der ersten Antwort über diene Kommilitonen gesagt habe, muss ich wohl wieder zurücknehmen!
Am besten ist es aber wohl schon, wenn man das mal grafisch lernt, bis sich die nötigen Aha-Erlebnisse einstellen. Ich will deshalb gerade dein Beispiel aufgreifen, um das etwas zu beleuchten.
Mache doch bitte eine Skizze: das 3-dimensionale Koordinatensystem.
Dann zeichne deinen Körper, dessen Volumen du berechnen willst, ein. Das gibt im Wesentlichen die sechs Eckpunkte
A(8,-2,0); B(0,6,0); C(0,2,0) und D(0,2,4).
Die Begrenzungsflächen sind: ABC; ABD; ADC; BDC.
Jetzt kommt das Folgende: beim Integrieren eliminierst du nacheinander je eine Dimension. (In der allgemeinen Theorie muss es nicht eine einzelne Dimension sein, es können mehrere gemeinsam sein!) Die Reihenfolge ist nicht wesentlich, die richtige Wahl kann aber das Leben jeweils etwas erleichtern. Zuerst ein Wenig denken, dann rechnen!
Was hast du zu tun, wenn du eine Dimension eliminierst? Du hast genau in der Integrationsrichtung deinen Körper auf die übriggebliebenen Dimensionen zu projizieren, das heisst, die entsprechende(n) Koordinate(n) = 0 zu setzen. Das "Schattenbild" ergibt dann den neuen Bereich, über dem zu integrieren ist.
Wenn du also, wie ihr es gemacht habt, zuerst die z-Richtung behandelst, dann Entstehen die folgenden Punkte in der x-y-Ebene. Ich lasse dabei die Bezeichnung der Punkte faulheitshalber so, wie sie original, also vor der Projektion hiessen: (bitte mach eine neue Zeichnung, nur die x-y-Ebene enthaltend)
A(8,-2); B(0,6); C(0,2) und D(0,2).
Dein Bereich (der Schatten des Volumens) ist jetzt ein Dreieck, dessen Ecken die obengenannten sind (einige fallen dabei übereinander). Etwas allgemeiner (analytischer): der neue Integrationsbereich ist die Menge der Punkte im Raum (hier x, kann selber mehrdimensional sein), in den hineinprojiziert wurde, für die gilt: es existiert ein Punkt (x,y im ursprünglichen Integrationsbereich. y[ selber kann auch mehrdimensional sein. Statt $dy_$ muss es dann halt einfach [mm] $d\mu_{y}$ [/mm] heissen.
Bei diesem Zusammenpressen des Volumens auf die x-y-Ebene musst du dir noch überlegen, welche Werte das z, also in Projektionsrichtung gesehen, über deinem Schatten eingenommen hat. Hier ist es einfach: über dem Gesamten Schatten lief das z von 0 bis (6-x-y). Eigentlich misst man ja nur ganz banal die Höhe der Säulen über deinem Schatten, um für die nächsten Schritte die richtige Gewichtung für die jetzt 2-dimensionalen Volumenelemente (also jetzt Flächenelemente) zu haben.
Soweit habt ihr das also richtig gemacht!
Ueber der soeben gezeichneten Fläche müsst ihr jetzt weiter integrieren. Machen wir das aber einmal konkret bis hierhin:
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} \integral_{0}^{6-x-y}1\, dz\, dy\, [/mm] dx =$
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx$
So, wie weiter?
Nun geht es genau gleich weiter, einfach mit einer anderen Richtung. Ihr habt dazu die y-Richtung gewählt.
Machen wir das auch!
Jetzt aber Vorsicht!!
Du siehst der Figur an, dass, wenn ich in y-Richtung auf die übriggebliebene Dimension projiziere (also einfach noch auf die x-Achse), dass dann für x noch der Bereich 0 bis 8 übrigbleibt.
Welche Werte durchläuft aber beim erneuten Zusammenpressen der Figur der y-Wert?
Hier stellst du fest, dass für y über dem ganzen Bereich von [mm] $2-\bruch{x}{2}$ [/mm] bis $6-x_$ läuft.
Somit ergibt sich:
[mm] $\integral_{?}^{?} \integral_{?}^{?} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx = $
[mm] $\integral_{0}^{8} \integral_{2-\bruch{x}{2}}^{6-x} (6-x-y)\, dy\, [/mm] dx$
Damit ist verifiziert, dass ihr recht hattet!
Ich denke, du sollst dir nur die sache mit den Projektionen merken, dabei aber immer bedenken, dass man nicht darauf angewiesen ist, nur eine einzelne Dimension zu eliminieren.
Als Übung wäre es sicher nützlich, einmal die Reihenfolge der Projektionsrichtungen zu ändern, um zu sehen, was dann passiert.
Es sollte immer das gleiche Ergebnis herauskommen.
Ich weiss jetzt gar nicht, ob dir durch meine Antworten etwas weitergeholfen worden ist. Wenn du noch etwas mathematischerse willst, kann ich das bei Gelegenheit nachliefern, aber eine Google-Suche könnte da wohl mindestens so Aufschlussreich sein. Was sagt denn euer Analysis-Skript dazu?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 16.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Paulus!
Ersteinmal danke für die Ausführungen. Das Ergebnis 64/3 sollte auch stimmen, weil zumindest die Übungsleiterin und die Tutoren das Ergebnis bestätigen (und die kontrollieren am Ende ja auch die Aufgaben, wäre blöd, wenn man da was anderes herausbekommt).
Wie kommst du auf die Eckpunkte des Körpers? Is tdas nur sture lineare Algebra oder aus der Anschauung heraus?
Du erzeugst zunächst ein Schattenbild des Körpers mittels der 2-dimensionalen Projektion des Körpers, sodass eine Dimension wegfällt (nach der will ich integrieren) und dann hier in diesem Fall der [mm] $\IR^2$ [/mm] "übrigbleibt". Ich glaube so macht das auch mein Analysis-Skript, obwohl das nicht so gut ist, weil dort sehr wenige Beispiele gerechnet werden, sondern fast ausschließlich die Sätze, Lemmata gezeigt und bewiesen werden. (siehe das Skript ![[]](/images/popup.gif) hier .)
Aber zurück zum Thema: Ich habe jetzt die Projektion durchgeführt. Und nun? Wie komme ich jetzt auf die Grenzen von z, was ich ja "wegprojeziert" hab? Ich sehe vielleicht aus meiner ersten dreidimensionalen Skizze, dass das z > 0 ist, aber den oberen "Endpunkt" kann ich doch nich so einfach mit der Formel $6-x-y$ ablesen, oder?
Nochmal die Frage: Gibt es kein analytisches Standardverfahren, wie man die Grenzen bestimmt? Mein Tutor meint, es gibt immer eine grafische und eine analytische Methode und man muss nur "rumprobieren" wie es geht. Im Skript steht dazu sogut wie nichts. Wie soll man sich das dann erst im Höherdimensionalen veranschaulichen?
Gruß Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Di 16.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Micha
>
> Wie kommst du auf die Eckpunkte des Körpers? Ist das nur
> sture lineare Algebra oder aus der Anschauung heraus?
>
Ja, das war aus der Anschauung heraus.
> Du erzeugst zunächst ein Schattenbild des Körpers mittels
> der 2-dimensionalen Projektion des Körpers, sodass eine
> Dimension wegfällt (nach der will ich integrieren) und dann
> hier in diesem Fall der [mm]\IR^2[/mm] "übrigbleibt". Ich glaube so
> macht das auch mein Analysis-Skript, obwohl das nicht so
> gut ist, weil dort sehr wenige Beispiele gerechnet werden,
> sondern fast ausschließlich die Sätze, Lemmata gezeigt und
> bewiesen werden. (siehe das Skript
> hier
> .)
Vielen Dank für das Skript
>
> Aber zurück zum Thema: Ich habe jetzt die Projektion
> durchgeführt. Und nun? Wie komme ich jetzt auf die Grenzen
> von z, was ich ja "wegprojeziert" hab? Ich sehe vielleicht
> aus meiner ersten dreidimensionalen Skizze, dass das z > 0
> ist, aber den oberen "Endpunkt" kann ich doch nich so
> einfach mit der Formel [mm]6-x-y[/mm] ablesen, oder?
>
Doch das kannst du, mit den Einschränkungen, die ich dir unten noch ein Bisschen beschreiben werde.
Es ist ja so, dass du 2 Gleichungen gegeben hast, wo z vorkommt:
Einmal $z=0_$ und zum Anderen $x+y+z=6_$
Somit kannst du analytisch feststellen, dass $z_$ zwischen $0_$ und $6-x-y_$ liegen muss. Nur ein Problem bleibt: du musst entscheiden, ob du von $0_$ bis $6-x-y_$ laufen musst, oder von $6-x-y_$ bis $0_$. Und das kannst du nur entscheiden, wenn du weisst, mit welchen Werten für $x_$ und $y_$ du es zu tun hast. Schliesslich musst du ja vom kleineren Wert zum grösseren laufen. Im allgemeinen Fall braucht es da wohl sogar Fallunterscheidungen?!
Ich denke, das sollte doch einmal ein Diskussionsthema mit eurem Tutor werden.
Nochmals zur Anschauung: Beim Projizieren durchdringt der Lichtstrahl so quasi das Volumen. Das z muss alle Intervalle durchlaufen, wo der Lichtstrahl sich innerhalb des Volumens befindet.
Die Theorie entledigt sich dieser Aufgabe halt elegant: sie führt eine Charakterische Funktion ein...
Bei dieser konkreten Aufgabe rührt die Problematik wohl auch daher, dass die Menge, über der integriert werden soll, nicht klar vorgegeben worden ist. In dem Sinne, dass nur die Grenzflächen gegeben worden sind. Es ist Sache des Studenten herauszufinden, welche Punkte innerhalb des Volumens uns welche ausserhalb liegen. Ein wahrlich elegantes den Kopf aus der Schlinge ziehen!
Korrekt hätte die Menge, meiner Meinung nach, eigentlcih so vorgegeben werden sollen:
Die Menge aller (x,y,z) mit folgenden Bedingungen:
$x+y+z [mm] \le [/mm] 6$ UND $x+2y [mm] \ge [/mm] 4$ UND $x [mm] \ge [/mm] 0$ UND $z [mm] \ge [/mm] 0$.
> Nochmal die Frage: Gibt es kein analytisches
> Standardverfahren, wie man die Grenzen bestimmt? Mein Tutor
> meint, es gibt immer eine grafische und eine analytische
> Methode und man muss nur "rumprobieren" wie es geht. Im
> Skript steht dazu sogut wie nichts. Wie soll man sich das
> dann erst im Höherdimensionalen veranschaulichen?
>
Jaja, diskutiere das bitte nochmals mit deinem Tutor. Ich kann da auch nur ein Wenig schwafeln! Stell dir auch mal vor, der Körper sei ein Ikosaederstumpf (in etwa ein Fussball). Dann musst du die Intervalle aufteilen, wie das schon in meiner 1. Antwort mit der Zusatzlichen Bedingung $y [mm] \ge [/mm] 0$ vorgekommen ist.
Was, wenn du auf alle 32 Flächen des Ikosaederstumpfes noch eine Spitze Pyramide aufsetzt!?
Oder wenn es sich um einen durchlöcherten Emmentaler Käse handelt?
Also: ich muss dich da leider ein Wenig im Stich lassen! Ich setze den Status halt einfach mal auf "Teilweise beantwortet". Vielleicht gibt es ja unter den über 3000 Mitgliedern jemanden, der sich intensiver mit der Materie auseinander gesetzt hat.
Mit lieben Grüssen
Paul
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