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| Aufgabe | | [mm] \integral{sin^{-3}(x)*cos(x)}dx [/mm] |
Hallo,
im Prinzip kann ich integrieren, also so einiger maßen. Nur diese trigonometrischen Funktionen fallen mir sehr schwer. Wie ich sinus und cosinus integriere ist mir schon klar, nur habe ich Probleme sobald diese in Kombination oder mit Exponenten usw auftauchen.
Habt ihr da ein paar Grundsätze nach denen ihr bei sowas handelt oder wie kommt ihr damit klar?
Als Beispiel mal die oben angegebene Aufgabe bei der ich so garnicht weiß womit ich anfangen soll.
Ich hoffe man versteht wo mein Problem liegt. Ich brauche keine vollständige Lösung der Aufgabe, ich möchte trigonometrische Funktionen integrieren können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 31.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\integral{sin^{-3}(x)*cos(x)}dx[/mm]
Der Integrand ist also [mm] $\left({sin\ x}\right)^{-3}*cos [/mm] x$.
Was dir dabei auffallen könnte/sollte ist, dass du eine verkettete Funktion da stehen hast, die äußere Funktion ist die Potenzfunktion [mm] $(\cdots)^{-3}$ [/mm] und die innere Funktion ist [mm]sin(x) [/mm]. Und so "zufälligerweise" steht die Ableitung der inneren Funktion als Faktor dahinter. Das sollte stark an die Kettenregel beim Differenzieren erinnern und man sieht rasch, dass hier das Ergebnis der Ableitung von [mm] $-\frac{1} [/mm] 2 * (sin\ [mm] x)^{-2}$ [/mm] da steht.
Allgemein gilt: [mm] $\int{f(g(x))*g'(x)}dx=F(g(x))+C$
[/mm]
Kurz, es muss nur die äußere Funktion f integriert werden (->F). Bei dir reicht es daher, [mm] $(\cdots)^{-3}$ [/mm] zu integrieren, also
[mm] $\integral{sin^{-3}(x)*cos(x)}dx=-\frac [/mm] 1 2 [mm] *sin^{-2}(x)+C$
[/mm]
Etwas aufwändiger kommst du im Falle derartiger Integrale natürlich auch zur Lösung, indem du $u=g(x)$ substituierst.
Im Falle deiner Aufgabe führt das auf [mm] $\int u^{-3}du$.
[/mm]
Ich finde es allerdings wesentlich bequemer, sich die Regel allgemein zu merken und direkt anzuwenden.
RMix
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