Integration von sin, cos < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 06.10.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo!
Wie ist es möglich Funktionen vom Typ [mm] sin^{3} [/mm] x und höheren Grades zu integrieren?
Mein Versuch sin x durch u zu substituieren scheiterte kläglich:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \integral_{}^{} {sin^{3}x dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} {{u^3} dx}
[/mm]
u = sinx
du/dx=cos x
dx= du / cos x
...
An der Differentiation habe ich mich bereits probiert und hoffe das das soweit stimmt:
Bsp.: f(x) dx = [mm] sin^{3} [/mm] x dx = 3 cos x * [mm] sin^{2} [/mm] x mit Hilfe einer Substitution
Stimmt die Differentiation und wie muss ich bei der Integration vorgehen?
Vielen Dank!
Gruß
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hi!
DAs ist glaube ich recht einfach, da bekanntlich [mm] \sin^2x+\cos^2x=1:
[/mm]
[mm]\integral_{}^{}[/mm] {f(x) dx} = [mm]\integral_{}^{} {\sin^{3}x dx}[/mm]
= [mm]\integral_{}^{} {(1-\cos^2x)\sin x dx}[/mm]=[mm]\integral_{}^{} {\sin x dx}+\integral_{}^{}{\cos^2 x (-\sin x) dx} [/mm][mm] =-\cos x+\bruch{1}{3}\cos^3 [/mm] x
also quasi Kettenregel bei [mm] \integral_{}^{}{\cos^2 x (-\sin x) dx} [/mm] verwenden und den Trick von oben...
Ich hoffe alles ist jetzt klar, sonst nochmal nachfragen 
Gruss,
Spellbinder
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 06.10.2005 | | Autor: | Molch |
Vielen Dank erst einmal für die schnelle Antwort!
An den Lösungsweg hatte ich garnicht gedacht :).
Aber wie gehe ich vor wenn es zum Beispiel [mm] sin^{7}x [/mm] zu bearbeiten gilt?
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Also ich möchte das jetzt hier nicht direkt berechnen (Lösung laut Maple:
[mm] -1/7*\sin(x)^6*\cos(x)-6/35*\sin(x)^4*\cos(x)-8/35*\sin(x)^2*\cos(x)-16/35*\cos(x))
[/mm]
aber das Verfahren der partiellen Integration, das Loddar in seiner alternativ Lösung vorstellt, dürfte zum gewünschten Ergebnis führen...
Gruss,
Spellbinder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 06.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
Alternativ zu der eleganten Lösung von Spellbinder kannst Du hier auch mit dem Verfahren der partiellen Integration vorgehen und anschließend ebenfalls den trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ anwenden:
[mm] $\integral{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(x)*\sin^2(x) \ dx}$
[/mm]
$u \ := \ [mm] \sin^2(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
$v' \ := \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] -\cos(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\integral{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin^2(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] \integral{2*\sin(x)*\cos^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\left[1-\cos^2(x)\right]*\cos(x) [/mm] + [mm] 2*\integral{\sin(x)*\left[1-\sin^2(x)\right] \ dx}$
[/mm]
Edit: Vorzeichen korrigiert. Loddar
Hier entsteht dann das gesuchte Integral [mm] $\integral{\sin^3(x) \ dx}$ [/mm] auch nochmal auf der rechten Seite der Gleichung, so dass man entsprechend umstellen kann.
Das Ergebnis ist dann (natürlich) dasselbe wie bei Spellbinder ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 27.10.2005 | | Autor: | jasper |
ich hatte das selbe problem, deswegen bin ich hierdrauf gestoßen. dabei ist mir aufgefallen, dass weil:
[mm] \integral_ [/mm] sin(x) = [mm] -\cos(x)
[/mm]
es nach dem folgestrich nicht heissen kann:
>
> [mm] \integral{\sin^3(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin^2(x)*\cos(x) [/mm] - [mm] \integral{2*\sin(x)*\cos^2(x) \ dx} [/mm] \
>
sondern vor das [mm] 2*\sin(x)*\cos^2(x) [/mm] noch ein minus gehört.
am ende bekomme ich heraus:
[mm] -sin^2(x)*\cos(x)+ \integral{2sin(x)*-sin³(x)}
[/mm]
wenns geht würde ich das gerne einmal ganz bis zum ende gemacht sehn, bzw. soweit, dass es offentsichtlich ist das [mm] \sin³(x) [/mm] auf die andere seite gezogen werden kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Do 06.10.2005 | | Autor: | Molch |
Alles klar!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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