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Hallo, ich habe Probleme beim Auffinden einer Substitution für [mm] \integral_{0}^{h}{\frac{1}{\sqrt(h^2+y^2+z^2)^3} dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{h}{\left(h^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}} dy}. [/mm] Mir fehlt dazu leider jeglicher Ansatz. Es wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
Gruß und danke
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo thestranger268,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich habe Probleme beim Auffinden einer Substitution
> für [mm]\integral_{0}^{h}{\frac{1}{\sqrt(h^2+y^2+z^2)^3} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{h}{\left(h^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}} dy}.[/mm]
> Mir fehlt dazu leider jeglicher Ansatz. Es wäre schön,
> wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
>
Ziel ist den Integranden so einfach wie möglich zu machen.
Dies erreicht Du hier mit der Substitution [mm]y=\wurzel{h^{2}+z^{2}}*\sinh\left(t\right)[/mm].
> Gruß und danke
> Chris
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Danke dir, das ist schon eine sehr wertvolle Info für mich. Ich habe das spaßeshalber mal mit Mathematica gerechnet und die Substitution sieht dort sehr ähnlich aus.
Leider bin ich kein Mathematiker und habe noch immer kein Verständnis dafür, WIE man auf eine solche Substitution kommt. Rechnen kann ich das danach auch - aber die eigentliche Arbeit ist ja das Auffinden der Substitution.
Ich sehe (leider) keinen Zusammenhang zwischen einer hyperbolischen Funktion und den Raumpunkten... Oder ist die Wahl willkürlich (z. B. anhand von Präzedenzfällen)?
Sorry für die nervige Nachfragerei, ich hab zwar den Bronstein hier, der bringt mir aber nichts, wenn ich nicht weiß, wonach ich suchen soll...
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Hallo thestranger268,
> Danke dir, das ist schon eine sehr wertvolle Info für
> mich. Ich habe das spaßeshalber mal mit Mathematica
> gerechnet und die Substitution sieht dort sehr ähnlich
> aus.
> Leider bin ich kein Mathematiker und habe noch immer kein
> Verständnis dafür, WIE man auf eine solche Substitution
> kommt. Rechnen kann ich das danach auch - aber die
> eigentliche Arbeit ist ja das Auffinden der Substitution.
> Ich sehe (leider) keinen Zusammenhang zwischen einer
> hyperbolischen Funktion und den Raumpunkten... Oder ist die
> Wahl willkürlich (z. B. anhand von Präzedenzfällen)?
Nein,die Wahl ist nicht willkürlich.
Betrachte den Ausdruck [mm]\left(y^{2}+h^{2}+z^{2}\right)^{-3/2} \ dy[/mm]
Dieser Ausdruck soll nun vereinfacht werden.
Der Ausdruck in Klammern kann geschrieben werden als
[mm]y^{2}+h^{2}+z^{2}=y^{2}+\left(h^{2}+z^{2}\right)[/mm]
Damit ist [mm]y=\wurzel{h^{2}+z^{2}}*\phi\left(t\right)[/mm]
Daraus ergibt sich [mm]dy=\wurzel{h^{2}+z^{2}}*\phi'\left(t\right) \ dt[/mm]
Der Ausdruck ergibt sich dann somit zu
[mm]\bruch{\wurzel{h^{2}+z^{2}}*\phi'\left(t\right)}{\left({\wurzel{h^{2}+z^{2}}\right)^{3}*\left(\wurzel{1+\phi^{2}\left(t\right)}}\right)^{3}} \ dt[/mm]
Um die Wurzel [mm]\wurzel{1+\phi^{2}\left(t\right)}}[/mm] zu eliminieren, ist ein Additionstheorem der hyperbolischen Funktionen zu benutzen:
[mm]1+\sinh^{2}\left(t\right)=\cosh^{2}\left(t\right)[/mm]
Damit ist [mm]\phi\left(t\right)=\sinh\left(t\right)[/mm]
Somit lautet dann die Substitution [mm]y=\wurzel{h^{2}+z^{2}}*\sinh\left(t\right)[/mm]
> Sorry für die nervige Nachfragerei, ich hab zwar den
> Bronstein hier, der bringt mir aber nichts, wenn ich nicht
> weiß, wonach ich suchen soll...
Gruss
MathePower
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