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| Aufgabe 1 | Nutzen von Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3x^{4}}{x^{4}+5x^{2}+4} dx} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zurückführen auf Grundintegrale bzw. durch Substitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3x+2}{\wurzel{x^{2}-10x+29}} dx} [/mm] |
| Aufgabe 3 | geeignete Integrationsmethode
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{5-4sin(x)+3cos(x)} dx} [/mm] |
Mir geht es hierbei nur um Ansätze, die mich zum Ergebnis führen. Bitte keine detaillierten Lösungswege, sondern z.B. bei Substitution einen sinnvollen Weg vorgeben. Danke!
Aufgabe 1:
[mm] \integral_{a}^{b}{3-\bruch{15x^{2}+12}{x^{4}+5x^{2}+4} dx}
[/mm]
nach welcher Regel spaltet man das auf?
[mm] \bruch{A_{1}}{...} +\bruch{A_{2}}{...} [/mm] oder ähnlich?
Aufgabe 2:
ehrlich gesagt, fällt mir dazu nicht wirklich etwas ein. Das Einzigste, was ich gemacht habe, ist, dass ich [mm] (x-5)^{2}-4 [/mm] unter die Wurzel geschrieben habe. Aber das bringt micht nicht weiter, zumindest habe ich kein entsprechendes Grundintegral gefunden und eine Substitution fällt mir auch nicht auf.
Aufgabe 3:
da saß ich davor und mir fiel einfach nichts ein. Dachte an Substitution, da partiell glaub ich nicht wirklich zielführend ist. Kann man die Nennerfunktion geschickt in tan(x/2) umwandeln? oder zumindest in ähnliches?
Fände es wirklich toll, wenn sich das mal jemand anschaut und seine Ideen mir zukommen lässt. Danke!
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 11.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunshinenight!
Der Nenner des ersten Bruches lässt sich zerlegen in [mm] $x^4+5x^2+4 [/mm] \ = \ [mm] \left(x^2+4\right)*\left(x^2+1\right)$ [/mm] .
Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:
$... \ = \ [mm] \bruch{A*x+B}{x^2+4}+\bruch{C*x+D}{x^2+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo, danke für deinen Ansatz
Die Nullstellen sind ja komplex, also X=i und X=2i und jeweils die konjugiert komplexe Zahl dazu. Habe das eingesetzt und für D=-1 und B=16 herausbekommen, während A=C=0 sind. Habe es zur Kontrolle noch mit Koeffizientenvergleich gemacht und komme auf das gleiche Ergebnis.
Nun ist die Sache ja nicht weiter schwer, habe nur mit einem Term ein Probelm und zwar:
[mm] \integral_{a}^{b}{-\bruch{16}{x^{2}+4} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{-\bruch{16}{4*(1+(\bruch{x}{2})^2)} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{-\bruch{4}{1+(\bruch{x}{2})^2} dx}
[/mm]
= -4 [mm] arctan(\bruch{x}{2})
[/mm]
Laut Lösungsvorgabe fehlt mir da aber noch der Faktor 2, wodurch kommt der hier noch zustande? Durch: [mm] (\bruch{x}{2})^{2} [/mm] ??
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunshinenight!
> = [mm]\integral_{a}^{b}{-\bruch{4}{1+(\bruch{x}{2})^2} dx}[/mm]
An dieser Stelle wird nun eine Substitution $u \ := \ [mm] \bruch{x}{2}$ [/mm] angesetzt.
Durch Ersetzen des $dx_$-Differentials durch $du_$ ergibt sich dann der fehlende Faktor $2_$ :
$u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \red{2}*du$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Di 11.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Zurückführen auf Grundintegrale bzw. durch Substitution:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{3x+2}{\wurzel{x^{2}-10x+29}} dx}[/mm]
Substitutier doch mal $y = [mm] \frac{x - 5}{2}$. [/mm] Der Integrand ist dann (mit irgendwelchen Konstanten [mm] $\lambda, \mu$ [/mm] die ich grad nicht ausrechnen moechte) [mm] $\frac{\mu y + \lambda}{\sqrt{y^2 - 1}}$. [/mm] Jetzt kannst du das als Summe von zwei Bruechen aufspalten und somit auch das Integral.
Das Integral mit dem $y$ im Nenner loest du durch Substitution $z = [mm] y^2 [/mm] - 1$. Und das Integral ohne dem $y$ im Nenner loest du entweder durch Wahl der passenden Formel aus der Formelsammlung (das ist ein Standardintegral was selbst in recht ueberschaubaren Formelsammlungen auftauchen sollte); falls du sowas nicht zur Hand hast: schau dir mal die Ableitung von [mm] $\mathop{\mathrm{arccosh}} [/mm] z$ an...
LG Felix
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hallo, habe es mal mit der Substitution, die du vorgeschlagen hast, probiert und komme auch auf ein annähernd richtiges Ergebnis, es stimmt nur etwas mit den Faktoren nicht. Wäre toll, wenn das mal jemand berichtigt.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}*\bruch{3x+2}{\wurzel{(\bruch{x-5}{2})^{2}+1}} dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] t=\bruch{x-5}{2} \Rightarrow [/mm] x=2t+5
dx = 2dt
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{6t+17}{\wurzel{t^{2}+1}} dt}
[/mm]
aufspalten in zwei Teile:
[mm] \integral_{a}^{b}{6t*(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{17*(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dt}
[/mm]
Hab nun in der Formelsammlung Grundintegrale angewendet und denke mal, dass daraus die Fehler mit meinen Faktoren entstehen
12 [mm] \wurzel{t^{2}+1} [/mm] +17*2 arsinh(t) + c
[mm] =3*\wurzel{4t^{2}+4}+17*2 ln|t+\wurzel{t^{2}+1}| [/mm] +c
So der erste Teil stimmt schon mal bis zum Pluszeichen. Wahrscheinlich habe ich vom Arsinh falsch umgeformt... okay es steht in der Formelsammlung, aber da steht ja nicht, ob man irgendwelche Faktoren beachten muss, wenn t halt obiger Bruch ist.
Also falsch ist noch die 17* 2 und wenn ich zurücksubstituiere darf bei dem ersten Term in ln nicht [mm] \bruch{x-5}{2}, [/mm] sondern nur (x-5) stehen. Danke für die Hilfe
mfg
sunshinenight
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Eisbarking |
Hi, also ich weiß nicht ob ich deine letzte Frage richtig verstanden habe.
$ [mm] \integral_{a}^{b}{6t\cdot{}(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dt} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{a}^{b}{17\cdot{}(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dt} [/mm] $
[mm] =6*\wurzel[2]{t^2+1}+17*ln( \wurzel[2]{t^2+1}+t)+c
[/mm]
Und zwar:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{6t\cdot{}(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dt} [/mm] $ [mm] =[6*t*\ln( \wurzel[2]{t^2+1}+t]- \integral_{a}^{b}{6*ln( \wurzel[2]{t^2+1}+t dt}
[/mm]
[mm] =[6*t*\ln( \wurzel[2]{t^2+1}+t]-[6*t*ln( \wurzel[2]{t^2+1}+t-6* \wurzel[2]{t^2-1}]
[/mm]
=6* [mm] \wurzel[2]{t^2-1}+c
[/mm]
Hoffe du kannst was mit der Lösung anfagen.
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Hallo, noch einmal
Habe mich wahrscheinlich auch komisch ausgedrückt, aber war auch etwas faul mit schreiben, sorry
mir geht es um das folgende Teilintegral:
[mm] 2*\integral_{a}^{b}{17(t^{2}+1)^{\bruch{-1}{2}} dx}
[/mm]
insofern dieser Teil schon mal stimmt. In der Formelsammlung steht ein Integraltyp da, so dass ich erhalte:
= 17*2*arsinh(t)
als Stammfunktion. Ich substituiere zurück:
[mm] =17*2*arsinh(\bruch{x-5}{2})
[/mm]
Nun kann man ja den arsinh noch in ln umschreiben, zu:
=17* 2 [mm] *ln|\bruch{x-5}{ [red] 2 [/red] }+\wurzel{(\bruch{x-5}{2})^{2}+1}|
[/mm]
Bei der ganzen Sache bin ich mir nur nicht sicher wegen der Faktoren, denn in der Formelsammlung steht es ja immer nur für x und ich hab ja da einen Bruch stehen...
Falsch sind bei mir wie erwähnt die roten Teile, wobei auch noch eine 2 vor die Wurzel bzw. eine 4 unter die Wurzel muss.
Und ich wüsste nicht wie ich die 2 bei 17*2 in ln hineinbekomme...
danke an Eisbarking, aber würde gern meinen angefangenen Weg weiter gehen, so dass ich ihn verstehe und da hängt es nur an diesen "Kleinigkeiten"
mfg
sunshinenight
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Ich stelle zu dieser Aufgabe nun noch mal meine Frage und schreibe dabei jeden Teilschritt auf, vielleicht ist jemand so lieb und schaut sich die Sache noch einmal an, da ich meinen Fehler einfach nicht finden kann.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3x+2}{\wurzel{(x-5)^{2}+4}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3x+2}{2*\wurzel{(\bruch{x-5}{2})^{2}+1}} dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] t=\bruch{x-5}{2}
[/mm]
x=2t+5
dx=2dt
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{3*(2t+5)+2}{\wurzel{t^{2}+1}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{6t+17}{\wurzel{t^{2}+1}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{6t}{\wurzel{t^{2}+1}} dt}+ \integral_{a}^{b}{\bruch{17}{\wurzel{t^{2}+1}} dt}
[/mm]
Nun nehme ich zur Hilfe:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+a^{2}}} dx}=\wurzel{x^{2}+a^{2}}
[/mm]
und
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+a^{2}}} dx}=arsinh(\bruch{x}{a})
[/mm]
und da erhalte ich:
[mm] =6*\wurzel{t^{2}+1} [/mm] + 17arsinh(t)
[mm] =3*\wurzel{4*(t^{2}+1)}+17 ln|t+\wurzel{t^{2}+1}|
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] 3*\wurzel{(x-5)^{2}+4}+17ln|\bruch{x-5}{2}+\wurzel{(\bruch{x-5}{2})^{2}+1}|
[/mm]
Mein Problem:
ln|...|: dort muss anstelle von [mm] \bruch{x-5}{2} [/mm] nur x-5 stehen
ln|...|: außerdem muss [mm] 2*\wurzel{...} [/mm] stehen, sodass ich den Nenner von ganz oben wieder dort hinschreiben kann
Denn es ist ja nicht das Gleiche, wenn ich im ersten Bruch im ln die 2 streiche und einfach vor die Wurzel schreibe... das sind ja so gesehen meine Fehler, bei denen ich einfach nicht weiss, wie ich sie wegbekommen kann.
Wäre also toll, wenn sich das nochmal jemand anschauen könnte.
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunshinenight!
Du hast alles richtig gemacht und Deine Lösung stimmt, genauso wie die angegebene.
Das Geheimnis liegt in der Integrationskonstante.
Wenn Du nämlich den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] im Logarithmus-Argument ausklammerst und anschließend das  Logarithmusgesetz [mm] $\log_b(x*y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x)+\log_b(y)$ [/mm] anwendest , kannst Du den Term [mm] $+\ln\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(2)$ [/mm] mit der Integrationskonstante $+C_$ zusammenfassen:
$C' \ := \ [mm] C-\ln(2) [/mm] \ = \ const.$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 12.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sunshinenight
> geeignete Integrationsmethode
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{5-4sin(x)+3cos(x)} dx}[/mm]
-4sinx+3cosx=5*(-4/5sinx+3/5cosx)=
[mm] 5*(-sin\alpha*sinx+cos\alpha*cosx)=5*cos(x-\alpha)
[/mm]
Dann noch benutzen [mm] 1+cos(2*u)=2cos^{2}(2u)
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo,
haben letztens eine Möglichkeit in der Vorlesung gezeigt bekommen, die am besten für diese Teilaufgabe geeignet ist und ich dachte mir, dass ich das mal mit hinschreibe für andere, die ein ähnliches Problem haben.
Zunächst gibt es in der Formelsammlung Integrale weiterer Funktionsklassen. Dazu gehört eine Tabelle, in der man Substitutionen für Integranden aufgelistet findet, sowie die Rücksubstitution.
Das würde hier heißen:
[mm] sin(x)=\bruch{2t}{1+t²}
[/mm]
[mm] cos(x)=\bruch{1-t²}{1+t²}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{2}{1+t²} [/mm] dt
Im Endeffekt ergibt sich dann folgendes Integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dt}{(t-2)²} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2-t} [/mm] +c
[mm] =\bruch{1}{2- tan(\bruch{x}{2})}+c
[/mm]
Mit der Rücksubstitution [mm] tan(\bruch{x}{2})=t
[/mm]
mfg
sunshinenight
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